在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形纸片 和 拼在一起,使点 与点 重合,点 与点 重合(如图 ,其中 , , ,并进行如下研究活动.
活动一:将图1中的纸片 沿 方向平移,连结 , (如图 ,当点 与点 重合时停止平移.
[思考]图2中的四边形 是平行四边形吗?请说明理由.
[发现]当纸片 平移到某一位置时,小兵发现四边形 为矩形(如图 .求 的长.
活动二:在图3中,取 的中点 ,再将纸片 绕点 顺时针方向旋转 度 ,连结 , (如图 .
[探究]当 平分 时,探究 与 的数量关系,并说明理由.
为了测量一条两岸平行的河流宽度,三个数学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点 处测得河北岸的树 恰好在 的正北方向.测量方案与数据如下表:
课题 |
测量河流宽度 |
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测量工具 |
测量角度的仪器,皮尺等 |
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测量小组 |
第一小组 |
第二小组 |
第三小组 |
测量方案示意图 |
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说明 |
点 , 在点 的正东方向 |
点 , 在点 的正东方向 |
点 在点 的正东方向,点 在点 的正西方向. |
测量数据 |
, , . |
, , . |
, , . |
(1)哪个小组的数据无法计算出河宽?
(2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到 .(参考数据: , , ,
小吴家准备购买一台电视机,小吴将收集到的某地区 、 、 三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下:
根据上述三个统计图,请答案:
(1) 年三种品牌电视机销售总量最多的是 品牌,月平均销售量最稳定的是 品牌.
(2)2019年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台?
(3)货比三家后,你建议小吴家购买哪种品牌的电视机?说说你的理由.
经过实验获得两个变量 , 的一组对应值如下表.
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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6 |
2.9 |
2 |
1.5 |
1.2 |
1 |
(1)请画出相应函数的图象,并求出函数表达式.
(2)点 , , , 在此函数图象上.若 ,则 , 有怎样的大小关系?请说明理由.
已知:如图,在 中, , 与 相切于点 .求证: .小明同学的证明过程如下框:
证明:连结 , , , 又 , , . |
小明的证法是否正确?若正确,请在框内打“ ”;若错误,请写出你的证明过程.
比较 与 的大小.
(1)尝试(用“ ”,“ ”或“ ”填空)
①当 时, ;
②当 时, ;
③当 时, .
(2)归纳:若 取任意实数, 与 有怎样的大小关系?试说明理由.
已知在 中, , 是 边上的一点,将 沿着过点 的直线折叠,使点 落在 边的点 处(不与点 , 重合),折痕交 边于点 .
(1)特例感知 如图1,若 , 是 的中点,求证: ;
(2)变式求异 如图2,若 , , ,过点 作 于点 ,求 和 的长;
(3)化归探究 如图3,若 , ,且当 时,存在两次不同的折叠,使点 落在 边上两个不同的位置,请直接写出 的取值范围.
某企业承接了27000件产品的生产任务,计划安排甲、乙两个车间的共50名工人,合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率为:甲车间每人每天生产25件,乙车间每人每天生产30件.
(1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?
(2)为了提前完成生产任务,该企业设计了两种方案:
方案一 甲车间租用先进生产设备,工人的工作效率可提高 ,乙车间维持不变.
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同),甲车间维持不变.
设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数;
②若甲车间租用设备的租金每天900元,租用期间另需一次性支付运输等费用1500元;乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问:从新增加的费用考虑,应选择哪种方案能更节省开支?请说明理由.
如图,已知 是 的内接三角形, 是 的直径,连结 , 平分 .
(1)求证: ;
(2)若 ,求 的长.
为了解学生对网上在线学习效果的满意度,某校设置了:非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项,随机抽查了部分学生,要求每名学生都只选其中的一项,并将抽查结果绘制成如图统计图(不完整).
请根据图中信息答案下列问题:
(1)求被抽查的学生人数,并补全条形统计图;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
(2)求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数;
(3)若该校共有1000名学生参与网上在线学习,根据抽查结果,试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人?
有一种升降熨烫台如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图. 和 是两根相同长度的活动支撑杆,点 是它们的连接点, , 表示熨烫台的高度.
(1)如图 .若 , ,求 的值;
(2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台的高度为 时,两根支撑杆的夹角 是 (如图 .求该熨烫台支撑杆 的长度(结果精确到 .
(参考数据: , , ,