初中数学解答题

解方程组： $\left\{\begin{array}{c}x-y=1,\\ 3x+y=7.\end{array}\right.$

计算： $|-3|+\sqrt{8}-\sqrt{2}$．

如图1，排球场长为 $18m$，宽为 $9m$，网高为 $2.24m$，队员站在底线 $O$点处发球，球从点 $O$的正上方 $1.9m$的 $C$点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点 $A$时，高度为 $2.88m$，即 $\mathit{BA}=2.88m$，这时水平距离 $\mathit{OB}=7m$，以直线 $\mathit{OB}$为 $x$轴，直线 $\mathit{OC}$为 $y$轴，建立平面直角坐标系，如图2．

（1）若球向正前方运动（即 $x$轴垂直于底线），求球运动的高度 $y\left(m\right)$与水平距离 $x\left(m\right)$之间的函数关系式（不必写出 $x$取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点 $P$（如图1，点 $P$距底线 $1m$，边线 $0.5m)$，问发球点 $O$在底线上的哪个位置？（参考数据： $\sqrt{2}$取 $1.4)$

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABD}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BD}$．在 $\mathit{BD}$的延长线上取点 $E$， $C$，作 $\mathit{\Delta AEC}$，使 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\angle \mathit{BAE}=90°$， $\angle B=45°$，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

答案： $\angle \mathit{DAC}=45°$．

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，其余条件不变，那么 $\angle \mathit{DAC}$的度数会改变吗？说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，再将“ $\angle \mathit{BAE}=90°$”改为“ $\angle \mathit{BAE}=n°$”，其余条件不变，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 $E$， $H$可分别沿等长的立柱 $\mathit{AB}$， $\mathit{DC}$上下移动， $\mathit{AF}=\mathit{EF}=\mathit{FG}=1m$．

（1）若移动滑块使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{AFE}$的度数和棚宽 $\mathit{BC}$的长．

（2）当 $\angle \mathit{AFE}$由 $60°$变为 $74°$时，问棚宽 $\mathit{BC}$是增加还是减少？增加或减少了多少？

（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

我国传统的计重工具 $--$秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 $x$（厘米）时，秤钩所挂物重为 $y$（斤 $)$，则 $y$是 $x$的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．

$x$（厘米）	1	2	4	7	11	12
$y$（斤 $)$	0.75	1.00	1.50	2.75	3.25	3.50

（1）在上表 $x$， $y$的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？

（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？

一只羽毛球的重量合格标准是5.0克 $~5.2$克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表．

4月份生产的羽毛球重量统计表

组别	重量 $x$（克 $)$	数量（只 $)$
$A$	$x<5.0$	$m$
$B$	$5.0⩽x<5.1$	400
$C$	$5.1⩽x<5.2$	550
$D$	$x⩾5.2$	30

（1）求表中 $m$的值及图中 $B$组扇形的圆心角的度数．

（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒（每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？

如图，点 $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，连结 $\mathit{AE}$并延长，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）若 $\mathit{AD}$的长为2，求 $\mathit{CF}$的长．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$，试添加一个条件，并写出 $\angle F$的度数．

（1）计算： $\sqrt{8}-4\cos 45°+{(-1)}^{2020}$．

（2）化简： ${(x+y)}^2-x(x+2y)$．

如图1，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$， $C$分别是直线 $y=-\frac{8}{3}x+4$与坐标轴的交点，点 $B$的坐标为 $(-2,0)$，点 $D$是边 $\mathit{AC}$上的一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$，点 $F$在边 $\mathit{AB}$上，且 $D$， $F$两点关于 $y$轴上的某点成中心对称，连结 $\mathit{DF}$， $\mathit{EF}$．设点 $D$的横坐标为 $m$， $E{F}^2$为 $l$，请探究：

①线段 $\mathit{EF}$长度是否有最小值．

② $\mathit{\Delta BEF}$能否成为直角三角形．

小明尝试用“观察 $-$猜想 $-$验证 $-$应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 $l$随 $m$变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 $2)$．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想 $l$与 $m$可能满足的函数类别．

（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 $l$关于 $m$的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 $\mathit{EF}$长度的最小值．

（3）小明通过观察，推理，发现 $\mathit{\Delta BEF}$能成为直角三角形，请你求出当 $\mathit{\Delta BEF}$为直角三角形时 $m$的值．

2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为 $20\mathit{km}/h$，游轮行驶的时间记为 $t\left(h\right)$，两艘轮船距离杭州的路程 $s\left(\mathit{km}\right)$关于 $t\left(h\right)$的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．

（1）写出图2中 $C$点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．

（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：

①货轮出发后几小时追上游轮？

②游轮与货轮何时相距 $12\mathit{km}$？

（2）①求出 $B$， $C$， $D$， $E$的坐标，利用待定系数法求解即可．

②分三种情形种情形分别构建方程求解即可．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，连结 $\mathit{OC}$，弦 $\mathit{AD}$分别交 $\mathit{OC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，其中点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CBA}$．

（2）求 $\mathit{OE}$的长．

某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．

被抽样的学生视力情况频数表

组别	视力段	频数
$A$	$5.1⩽x⩽5.3$	25
$B$	$4.8⩽x⩽5.0$	115
$C$	$4.4⩽x⩽4.7$	$m$
$D$	$4.0⩽x⩽4.3$	52

（1）求组别 $C$的频数 $m$的值．

（2）求组别 $A$的圆心角度数．

（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？

如图，在 $5\times 5$的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出一个以 $\mathit{AB}$为边的 $▱\mathit{ABDE}$，使顶点 $D$， $E$在格点上．

（2）在图2中画出一条恰好平分 $\mathit{\Delta ABC}$周长的直线 $l$（至少经过两个格点）．

先化简，再求值： $\frac{a}{a^2-2a+1}÷\frac{1}{a-1}$，其中 $a=3$．