(阅读)
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.
(理解)
(1)如图1,两个直角边长分别为
、
、斜边长为
的直角三角形和一个两条直角边都是
的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
(2)如图2,
行
列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:
;
(运用)
(3)
边形有
个顶点,在它的内部再画
个点,以
个点为顶点,把
边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得
个这样的三角形.当
,
时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以
.
①当
,
时,如图4,
;当
,
时,
;
②对于一般的情形,在
边形内画
个点,通过归纳猜想,可得
(用含
、
的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.