初中数学解答题

为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．

（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；

（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；

（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．

已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $B$， $\mathit{AO}$交 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $D$， $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BCD}}$上不与 $B$， $D$重合的点， $\sin A=\frac{1}{2}$．

（1）求 $\angle \mathit{BED}$的大小；

（2）若 $\odot O$的半径为3，点 $F$在 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BF}=3\sqrt{3}$，求证： $\mathit{DF}$与 $\odot O$相切．

某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．

（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？

（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．

先化简，再求值： $(1-\frac{1}{x+2})÷\frac{x^2-1}{x+2}$，其中 $x=\sqrt{2}+1$．

如图，点 $E$， $F$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．求证： $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAF}$．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2x⩽6-x,①\\ 3x+1>2\left(x-1\right)\cdot ②\end{array}\right.$

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为2的正方形， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连结 $\mathit{DE}$，点 $F$是射线 $\mathit{BC}$上一动点（不与点 $B$重合），连结 $\mathit{AF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）如图1，当点 $F$是 $\mathit{BC}$边的中点时，求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta DAE}$；

（2）如图2，当点 $F$与点 $C$重合时，求 $\mathit{AG}$的长；

（3）在点 $F$运动的过程中，当线段 $\mathit{BF}$为何值时， $\mathit{AG}=\mathit{AE}$？请说明理由．

为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道 $\mathit{AB}$在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点 $P$处测得点 $A$的俯角为 $30°$，继续飞行1500米到达点 $Q$处，测得点 $B$的俯角为 $45°$．

（1）填空： $\angle A=$　　度， $\angle B=$　　度；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到1米）．

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长 $t$（单位：小时）的情况，在全市范围内随机抽取了 $n$名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是　　（填写“全面调查”或“抽样调查” $)$， $n=$　　；

（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“ $3⩽t<4$”范围的概率是　　；

（3）若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“ $4⩽t<5$”范围的初中生有　　名．

某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？

计算：

（1） $|-8|\times 2^{-1}-\sqrt{16}+{(-1)}^{2020}$；

（2） $(a+2)(a-2)-a(a+1)$．

小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点 $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上一动点，线段 $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$，点 $A$是线段 $\mathit{BC}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{BD}$，交 $\mathit{DA}$的延长线于点 $F$．当 $\mathit{\Delta DCF}$为等腰三角形时，求线段 $\mathit{BD}$的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点 $D$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{FD}$的长度，得到下表的几组对应值．

$\mathit{BD}/\mathit{cm}$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
$\mathit{CD}/\mathit{cm}$	8.0	7.7	7.2	6.6	5.9	$a$	3.9	2.4	0
$\mathit{FD}/\mathit{cm}$	8.0	7.4	6.9	6.5	6.1	6.0	6.2	6.7	8.0

操作中发现：

①“当点 $D$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点时， $\mathit{BD}=5.0\mathit{cm}$”．则上表中 $a$的值是　5.0　；

②“线段 $\mathit{CF}$的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．

（2）将线段 $\mathit{BD}$的长度作为自变量 $x$， $\mathit{CD}$和 $\mathit{FD}$的长度都是 $x$的函数，分别记为 $y_{\mathit{CD}}$和 $y_{\mathit{FD}}$，并在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中画出了函数 $y_{\mathit{FD}}$的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 $y_{\mathit{CD}}$的图象；

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 $\mathit{\Delta DCF}$为等腰三角形时，线段 $\mathit{BD}$长度的近似值（结果保留一位小数）．

如图，抛物线 $y=-x^2+2x+c$与 $x$轴正半轴， $y$轴正半轴分别交于点 $A$， $B$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$，点 $G$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）点 $M$， $N$为抛物线上两点（点 $M$在点 $N$的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$为抛物线上点 $M$， $N$之间（含点 $M$， $N)$的一个动点，求点 $Q$的纵坐标 $y_Q$的取值范围．

我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具 $--$三分角器．图1是它的示意图，其中 $\mathit{AB}$与半圆 $O$的直径 $\mathit{BC}$在同一直线上，且 $\mathit{AB}$的长度与半圆的半径相等； $\mathit{DB}$与 $\mathit{AC}$垂直于点 $B$， $\mathit{DB}$足够长．

使用方法如图2所示，若要把 $\angle \mathit{MEN}$三等分，只需适当放置三分角器，使 $\mathit{DB}$经过 $\angle \mathit{MEN}$的顶点 $E$，点 $A$落在边 $\mathit{EM}$上，半圆 $O$与另一边 $\mathit{EN}$恰好相切，切点为 $F$，则 $\mathit{EB}$， $\mathit{EO}$就把 $\angle \mathit{MEN}$三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点 $A$， $B$， $O$， $C$在同一直线上， $\mathit{EB}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $B$，　　．

求证：　　．

暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身 $x$（次 $)$，按照方案一所需费用为 $y_1$（元 $)$，且 $y_1=k_{1}x+b$；按照方案二所需费用为 $y_2$（元 $)$，且 $y_2=k_{2}x$．其函数图象如图所示．

（1）求 $k_1$和 $b$的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和 $k_2$的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．