初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题解答题

如图，在某街道路边有相距 $10m$、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面 $A$处测得路灯 $\mathit{PQ}$的顶端仰角为 $14°$，向前行走 $25m$到达 $B$处，在地面测得路灯 $\mathit{MN}$的顶端仰角为 $24.3°$，已知点 $A$， $B$， $Q$， $N$在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sin 14°\approx 0.24$， $\cos 14°\approx 0.97$， $\tan 14°\approx 0.25$， $\sin 24.3°\approx 0.41$， $\cos 24.3°\approx 0.91$， $\tan 24.3°\approx 0.45)$

小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚 $P$处测得古塔顶端 $M$的仰角为 $60°$，沿山坡向上走 $25m$到达 $D$处，测得古塔顶端 $M$的仰角为 $30°$．已知山坡坡度 $i=3:4$，即 $\tan \theta =\frac{3}{4}$，请你帮助小明计算古塔的高度 $\mathit{ME}$．（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，建筑物 $\mathit{AB}$的高为52米，在其正前方广场上有人进行航模试飞．从建筑物顶端 $A$处测得航模 $C$的俯角 $\alpha =30°$，同一时刻从建筑物的底端 $B$处测得航模 $C$的仰角 $\beta =45°$，求此时航模 $C$的飞行高度．（精确到1米）

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚 $E$处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶 $C$处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点 $P$处，也可以通过滑行索道到达景点 $Q$处，在山顶 $C$处观测坡底 $A$的俯角为 $75°$，观测 $Q$处的俯角为 $30°$，已知右侧小山的坡角为 $30°$（图中的点 $C$， $E$， $A$， $B$， $P$， $Q$均在同一平面内，点 $A$， $Q$， $P$在同一直线上）

（1）求 $\angle \mathit{CAP}$的度数及 $\mathit{CP}$的长度；

（2）求 $P$， $Q$两点之间的距离．（结果保留根号）

如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 $B$处的求救者后，又发现点 $B$正上方点 $C$处还有一名求救者，在消防车上点 $A$处测得点 $B$和点 $C$的仰角分别为 $45°$和 $65°$，点 $A$距地面2.5米，点 $B$距地面10.5米，为救出点 $C$处的求救者，云梯需要继续上升的高度 $\mathit{BC}$约为多少米？

（结果保留整数，参考数据： $\tan 65°\approx 2.1$， $\sin 65°\approx 0.9$， $\cos 65°\approx 0.4$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

如图，小明利用长为 $2m$的标尺 $\mathit{ED}$测量某建筑物 $\mathit{BC}$的高度，观测点 $A$、标尺底端 $D$与建筑物底端 $C$在同一条水平直线上，标尺 $\mathit{ED}\perp \mathit{AC}$．从点 $A$处测得建筑物顶端 $B$的仰角为 $22°$，此时点 $E$恰好在 $\mathit{AB}$上；从点 $D$处测得建筑物顶端 $B$的仰角为 $38.5°$，求建筑物 $\mathit{BC}$的高度．（参考数据 $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 38.5°\approx 0.62$， $\cos 38.5°\approx 0.70$， $\tan 38.5°\approx 0.80)$

2017年9月8日 $-10$日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的 $A$点出发 $(\mathit{AB}=1000$米），沿俯角为 $30°$的方向直线飞行1400米到达 $D$点，然后打开降落伞沿俯角为 $60°$的方向降落到地面上的 $C$点，求该选手飞行的水平距离 $\mathit{BC}$．

如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼 $\mathit{BC}$高达 $452m$，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼 $\mathit{DE}$高 $340m$，为了测量高楼 $\mathit{BC}$上发射塔 $\mathit{AB}$的高度，在楼 $\mathit{DE}$底端 $D$点测得 $A$的仰角为 $\alpha$， $\sin \alpha =\frac{24}{25}$，在顶端 $E$点测得 $A$的仰角为 $45°$，求发射塔 $\mathit{AB}$的高度．

小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度 $\mathit{AD}$，小亮通过操控器指令无人机测得桥头 $B$， $C$的俯角分别为 $\angle \mathit{EAB}=60°$， $\angle \mathit{EAC}=30°$，且 $D$， $B$， $C$在同一水平线上．已知桥 $\mathit{BC}=30$米，求无人机飞行的高度 $\mathit{AD}$．（精确到0.01米．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图示一架水平飞行的无人机 $\mathit{AB}$的尾端点 $A$测得正前方的桥的左端点 $P$的

俯角为 $\alpha$其中 $\tan \alpha =2\sqrt{3}$，无人机的飞行高度 $\mathit{AH}$为 $500\sqrt{3}$米，桥的长度为1255米．

①求点 $H$到桥左端点 $P$的距离；

②若无人机前端点 $B$测得正前方的桥的右端点 $Q$的俯角为 $30°$，求这架无人机的长度 $\mathit{AB}$．

数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面 $A$处测得山顶 $B$的仰角 $\angle \mathit{BAC}$为 $38.7°$，再由 $A$沿水平方向前进377米到达山脚 $C$处，测得山坡 $\mathit{BC}$的坡度为 $1:0.6$，请你求出仙女峰的高度（参考数据： $\tan 38.7°\approx 0.8)$

衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图，为了测量来雁塔的高度，在 $E$处用高为1.5米的测角仪 $\mathit{AE}$，测得塔顶 $C$的仰角为 $30°$，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶 $C$的仰角为 $60°$，求来雁塔的高度．（结果精确到0.1米）

如图，有一铁塔 $\mathit{AB}$，为了测量其高度，在水平面选取 $C$， $D$两点，在点 $C$处测得 $A$的仰角为 $45°$，距点 $C$的10米 $D$处测得 $A$的仰角为 $60°$，且 $C$、 $D$、 $B$在同一水平直线上，求铁塔 $\mathit{AB}$的高度（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥 $\mathit{AB}$和引桥 $\mathit{BC}$两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在 $A$处正上方 $97m$处的 $P$点，测得 $B$处的俯角为 $30°$（当时 $C$处被小山体阻挡无法观测）．无人机飞行到 $B$处正上方的 $D$处时能看到 $C$处，此时测得 $C$处俯角为 $80°36\text{'}$．

（1）求主桥 $\mathit{AB}$的长度；

（2）若两观察点 $P$、 $D$的连线与水平方向的夹角为 $30°$，求引桥 $\mathit{BC}$的长．

（长度均精确到 $1m$，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sin 80°36\text{'}\approx 0.987$， $\cos 80°36\text{'}\approx 0.163$， $\tan 80°36\text{'}\approx 6.06)$

阅读材料：

一般地，当 $\alpha$、 $\beta$为任意角时， $\tan (\alpha +\beta )$与 $\tan (\alpha -\beta )$的值可以用下面的公式求得： $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\pm \tan \alpha ·\tan \beta }$．

例如： $\tan 15°=\tan (45°-30°)=\frac{\tan 45°-\tan 30°}{1+\tan 45°·\tan 30°}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\times \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})}$

$=\frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}$．

根据以上材料，解决下列问题：

（1）求 $\tan 75°$的值；

（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔．文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基．1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图 $1)$，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心 $A$处5.7米的 $C$处，测得塔顶的仰角为 $75°$，小华的眼睛离地面的距离 $\mathit{DC}$为1.72米，请帮助小华求出文峰塔 $\mathit{AB}$的高度．（精确到1米，参考数据 $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{2}\approx 1.414)$