初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题解答题

如图所示，某建筑物楼顶有信号塔 $\mathit{EF}$，卓玛同学为了探究信号塔 $\mathit{EF}$的高度，从建筑物一层 $A$点沿直线 $\mathit{AD}$出发，到达 $C$点时刚好能看到信号塔的最高点 $F$，测得仰角 $\angle \mathit{ACF}=60°$， $\mathit{AC}$长7米．接着卓玛再从 $C$点出发，继续沿 $\mathit{AD}$方向走了8米后到达 $B$点，此时刚好能看到信号塔的最低点 $E$，测得仰角 $\angle B=30°$．（不计卓玛同学的身高）求信号塔 $\mathit{EF}$的高度（结果保留根号）．

如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高 $\mathit{MN}$．他俩在小明家的窗台 $B$处，测得商业大厦顶部 $N$的仰角 $\angle 1$的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在 $B$处测得商业大厦底部 $M$的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 $C$处测得大厦底部 $M$的俯角 $\angle 2$的度数，竟然发现 $\angle 1$与 $\angle 2$恰好相等．已知 $A$， $B$， $C$三点共线， $\mathit{CA}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{NM}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{AB}=31m$， $\mathit{BC}=18m$，试求商业大厦的高 $\mathit{MN}$．

某市为了加快 $5G$网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点 $A$测得发射塔顶端 $P$点的仰角是 $45°$，向前走60米到达 $B$点测得 $P$点的仰角是 $60°$，测得发射塔底部 $Q$点的仰角是 $30°$．请你帮小军计算出信号发射塔 $\mathit{PQ}$的高度．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，校园内有两幢高度相同的教学楼 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$，大楼的底部 $B$， $D$在同一平面上，两幢楼之间的距离 $\mathit{BD}$长为24米，小明在点 $E(B$， $E$， $D$在一条直线上）处测得教学楼 $\mathit{AB}$顶部的仰角为 $45°$，然后沿 $\mathit{EB}$方向前进8米到达点 $G$处，测得教学楼 $\mathit{CD}$顶部的仰角为 $30°$．已知小明的两个观测点 $F$， $H$距离地面的高度均为1.6米，求教学楼 $\mathit{AB}$的高度 $\mathit{AB}$长．（精确到0.1米）参考值： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$．

如图，为了测量山坡上一棵树 $\mathit{PQ}$的高度，小明在点 $A$处利用测角仪测得树顶 $P$的仰角为 $45°$，然后他沿着正对树 $\mathit{PQ}$的方向前进 $10m$到达点 $B$处，此时测得树顶 $P$和树底 $Q$的仰角分别是 $60°$和 $30°$，设 $\mathit{PQ}$垂直于 $\mathit{AB}$，且垂足为 $C$．

（1）求 $\angle \mathit{BPQ}$的度数；

（2）求树 $\mathit{PQ}$的高度（结果精确到 $0.1m$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$．

如图，为了测量建筑物 $\mathit{AB}$的高度，在 $D$处竖立标杆 $\mathit{CD}$，标杆的高是 $2m$，在 $\mathit{DB}$上选取观测点 $E$、 $F$，从 $E$测得标杆和建筑物的顶部 $C$、 $A$的仰角分别为 $58°$、 $45°$．从 $F$测得 $C$、 $A$的仰角分别为 $22°$、 $70°$．求建筑物 $\mathit{AB}$的高度（精确到 $0.1m)$．（参考数据： $\tan 22°\approx 0.40$， $\tan 58°\approx 1.60$， $\tan 70°\approx 2.75$． $)$

如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 $C$测得教学楼顶部 $D$的仰角为 $18°$，教学楼底部 $B$的俯角为 $20°$，量得实验楼与教学楼之间的距离 $\mathit{AB}=30m$．

（1）求 $\angle \mathit{BCD}$的度数．

（2）求教学楼的高 $\mathit{BD}$．（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\tan 20°\approx 0.36$， $\tan 18°\approx 0.32)$

某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$均垂直于地面，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，在 $C$点测得点 $A$的仰角为 $30°$，点 $E$的俯角也为 $30°$，测得 $B$、 $E$间距离为10米，立柱 $\mathit{AB}$高30米．求立柱 $\mathit{CD}$的高（结果保留根号）

如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 $\mathit{AC}$的高为11米，灯杆 $\mathit{AB}$与灯柱 $\mathit{AC}$的夹角 $\angle A=120°$，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 $\mathit{DE}$长为18米，从 $D$， $E$两处测得路灯 $B$的仰角分别为 $\alpha$和 $\beta$，且 $\tan \alpha =6$， $\tan \beta =\frac{3}{4}$，求灯杆 $\mathit{AB}$的长度．

如图，甲建筑物 $\mathit{AD}$，乙建筑物 $\mathit{BC}$的水平距离 $\mathit{AB}$为 $90m$，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从 $E(A$， $E$， $B$在同一水平线上）点测得 $D$点的仰角为 $30°$，测得 $C$点的仰角为 $60°$，求这两座建筑物顶端 $C$、 $D$间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．

在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在 $A$处测得雕塑顶端点 $C$的仰角为 $30°$，再往雕塑方向前进4米至 $B$处，测得仰角为 $45°$．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值． $)$

在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在 $A$， $B$两处用高度为 $1.5m$的测角仪测得塑像顶部 $C$的仰角分别为 $30°$， $45°$，两人间的水平距离 $\mathit{AB}$为 $10m$，求塑像的高度 $\mathit{CF}$．（结果保留根号）

如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为 $\mathit{AB}$的宣传牌，点 $E$和点 $D$分别是教学楼底部和外墙上的一点 $(A$， $B$， $D$， $E$在同一直线上），小红同学在距 $E$点9米的 $C$处测得宣传牌底部点 $B$的仰角为 $67°$，同时测得教学楼外墙外点 $D$的仰角为 $30°$，从点 $C$沿坡度为 $1:\sqrt{3}$的斜坡向上走到点 $F$时， $\mathit{DF}$正好与水平线 $\mathit{CE}$平行．

（1）求点 $F$到直线 $\mathit{CE}$的距离（结果保留根号）；

（2）若在点 $F$处测得宣传牌顶部 $A$的仰角为 $45°$，求出宣传牌 $\mathit{AB}$的高度（结果精确到 $0.01)$．（注 $:\sin 67°\approx 0.92$， $\tan 67°\approx 2.36$， $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

关于三角函数有如下公式： $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$， $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$， $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }(1-\tan \alpha \tan \beta \ne 0)$

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }(1+\tan \alpha \tan \beta \ne 0)$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

如： $\tan 105°=\tan (45°+60°)=\frac{\tan 45°+\tan 60°}{1-\tan 45°\tan 60°}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}$

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：

如图，两座建筑物 $\mathit{AB}$和 $\mathit{DC}$的水平距离 $\mathit{BC}$为24米，从点 $A$测得点 $D$的俯角 $\alpha =15°$，测得点 $C$的俯角 $\beta =75°$，求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．

如图，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点的仰角为，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，求塔的高度．（结果保留根号）