初中数学解直角三角形解答题

如图1，抛物线经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；

（2）如图2，直线经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为，连接并延长，交抛物线于点，交直线于点，若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为3，求点的坐标；

（3）如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在第二象限内，且，求的面积．

（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的上方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与轴交于，，，两点，与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若，，，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围；

（3）抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点的坐标．

如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，将直线绕点逆时针旋转，所得直线与轴交于点．

（1）求直线的函数解析式；

（2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点

①当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离；

②当点到直线的距离为时，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点为抛物线的对称轴上的一点，点在该抛物线上，当四边

形为菱形时，求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线在第一象限的图象上是否存在一点，使得点到直线的距离与其到轴的距离相等？若存在，求出直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点为抛物线的对称轴上的一点，点在该抛物线上，当四边

形为菱形时，求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线在第一象限的图象上是否存在一点，使得点到直线的距离与其到轴的距离相等？若存在，求出直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．

（1）求证：．

（2）当，时，求的长．

（3）设，．

①求关于的函数表达式；

②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值．

如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，分别在轴和轴的正半轴上，连结，，，是的中点．

（1）求的长和点的坐标；

（2）如图2，是线段上的点，，点是线段上的一个动点，经过，，三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点．

①将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标；

②以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长．

如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．

（1）若，

①求证：．

②当时，求面积的最大值．

（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．

（1）连结，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；

（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，是的直径，、两点在的延长线上，是上的点，且，延长至，使得，设，．

（1）求证：；

（2）求，的长；

（3）若点在、、三点确定的圆上，求的长．

问题提出

（1）如图①，在中，，，点关于所在直线的对称点为，则的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆的直径，是的中点，点在上，且，是上的动点，试求的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛的半径为，．根据工程需要．现想在上选点，在边上选点，在边上选点，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形．试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）

在中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．例如，图1中是的一条中内弧．

（1）如图2，在中，，，分别是，的中点，画出的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点，，，，在中，，分别是，的中点．

①若，求的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；

②若在中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边上，直接写出的取值范围．

若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形．

（1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形；
（2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．