问题1:如图①,在 中, , 是 上一点(不与 , 重合), ,交 于点 ,连接 .设 的面积为 , 的面积为 .
(1)当 时, ;
(2)设 ,请你用含字母 的代数式表示 .
问题2:如图②,在四边形 中, , , , 是 上一点(不与 , 重合), ,交 于点 ,连接 .设 ,四边形 的面积为 , 的面积为 .请你利用问题1的解法或结论,用含字母 的代数式表示 .
若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知 是比例三角形, , ,请直接写出所有满足条件的 的长;
(2)如图1,在四边形 中, ,对角线 平分 , .求证: 是比例三角形.
(3)如图2,在(2)的条件下,当 时,求 的值.
已知四边形 的一组对边 、 的延长线交于点 .
(1)如图1,若 ,求证: ;
(2)如图2,若 , , , , 的面积为6,求四边形 的面积;
(3)如图3,另一组对边 、 的延长线相交于点 .若 , , ,直接写出 的长(用含 的式子表示)
在 中, 、 分别为线段 、 上的点(不与 、 、 重合).
(1)如图1,若 ,求证:
(2)如图2,若 不与 平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)如图3,若 上一点 恰为 的重心, ,求 的值.
已知:如图,在 中, ,点 是斜边 的中点, ,且 , 于点 ,连接 、 .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)设 的面积为 ,四边形 的面积为 ,当 时,求 的值.
(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图1,在 中,点 在线段 上, , , , ,求 的长.
经过社团成员讨论发现,过点 作 ,交 的延长线于点 ,通过构造 就可以解决问题(如图 .
请回答: , .
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图3,在四边形 中,对角线 与 相交于点 , , , , ,求 的长.
如图(1),已知点 在正方形 的对角线 上, ,垂足为点 , ,垂足为点 .
(1)证明与推断:
①求证:四边形 是正方形;
②推断: 的值为
(2)探究与证明:
将正方形 绕点 顺时针方向旋转 角 ,如图(2)所示,试探究线段 与 之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展与运用:
正方形 在旋转过程中,当 , , 三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长 交 于点 .若 , ,则 .
阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1, 中, ,点 在 边上, , ,垂足为 ,求证: .
小明经探究发现,过点 作 ,垂足为 ,得到 ,从而可证 (如图 ,使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答: 与 全等的条件是 (填“ ”、“ ”、“ ”、“ ”或“ ”中的一个)
参考小明思考问题的方法,解答下列问题:
(2)如图3, 中, , , 为 的中点, 为 的中点,点 在 的延长线上,且 ,若 ,求 的长;
(3)如图4, 中, , ,点 、 分别在 、 边上,且 (其中 , ,求 的值(用含 的式子表示).
已知在 中, , , , 分别为 , 边上的点(不包括端点),且 ,连接 ,过点 作 ,垂足为点 ,延长 交 于点 .
(1)如图1,过点 作 于点 ,连接 .
①求证:四边形 是平行四边形;
②若 ,求证: ;
(2)如图2,若 ,求 的值.
在现实生活中,我们经常会看到许多“标准”的矩形,如我们的课本封面、 的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为 ,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”,在“标准矩形” 中, 为 边上一定点,且 ,如图所示.
(1)如图①,求证: ;
(2)如图②,点 在 上,且 ,若 为 边上一动点,当 的周长最小时,求 的值;
(3)如图③,已知 ,在(2)的条件下,连接 并延长交 的延长线于点 ,连接 , 为 的中点, 、 分别为线段 与 上的动点,且始终保持 ,请证明: 的面积 为定值,并求出这个定值.
如图, 是 的平分线,点 在射线 上, , 是直线 上的两动点,点 在点 的右侧,且 ,作线段 的垂直平分线,分别交直线 、 于点 、点 ,连接 、 .
(1)如图1,当 、 两点都在射线 上时,请直接写出线段 与 的数量关系;
(2)如图2,当 、 两点都在射线 的反向延长线上时,线段 , 是否还存在(1)中的数量关系?若存在,请写出证明过程;若不存在,请说明理由;
(3)如图3, ,连接 ,设 ,当 和 两点都在射线 上移动时, 是否存在最小值?若存在,请直接写出 的最小值;若不存在,请说明理由.
在四边形 中,点 为 边上的一点,点 为对角线 上的一点,且 .
(1)若四边形 为正方形.
①如图1,请直接写出 与 的数量关系 ;
②将 绕点 逆时针旋转到图2所示的位置,连接 , ,猜想 与 的数量关系并说明理由;
(2)如图3,若四边形 为矩形, ,其它条件都不变,将 绕点 顺时针旋转 得到△ ,连接 , ,请在图3中画出草图,并直接写出 与 的数量关系.
如图,矩形 中, , . , 分别在 , 上,点 与点 关于 所在的直线对称, 是边 上的一动点.
(1)连接 , ,求证四边形 是菱形;
(2)当 的周长最小时,求 的值;
(3)连接 交 于点 ,当 时,求 的长.
从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在 中, 为角平分线, , ,求证: 为 的完美分割线.
(2)在 中, , 是 的完美分割线,且 为等腰三角形,求 的度数.
(3)如图2, 中, , , 是 的完美分割线,且 是以 为底边的等腰三角形,求完美分割线 的长.