初中数学相似形综合题试题

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．小波把线段称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，（如图．当时，猜想的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

如图，在△ ABC中， AD⊥ BC， BE⊥ AC，垂足分别为 D， E， AD与 BE相交于点 F．

（1）求证：△ ACD∽△ BFD；

（2）当tan∠ ABD＝1， AC＝3时，求 BF的长．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AE}$．

小明经探究发现，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，得到 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{BEA}$，从而可证 $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BAE}$（如图 $2)$，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $\mathit{\Delta ABF}$与 $\mathit{\Delta BAE}$全等的条件是　　（填“ $\mathit{SSS}$”、“ $\mathit{SAS}$”、“ $\mathit{ASA}$”、“ $\mathit{AAS}$”或“ $\mathit{HL}$”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $E$为 $\mathit{DC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{EAC}$，若 $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{AB}$的长；

（3）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$边上，且 $\mathit{AD}=\mathit{kDB}$（其中 $0<k<\frac{\sqrt{3}}{3})$， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{BCD}$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$的值（用含 $k$的式子表示）．

如图，在平面直角坐标系中，已知 A（﹣3，﹣2）， B（0，﹣2）， C（﹣3，0）， M是线段 AB上的一个动点，连接 CM，过点 M作 MN⊥ MC交 y轴于点 N，若点 M、 N在直线 y＝ kx+ b上，则 b的最大值是（　　）

A．

﹣ $\frac{7}{8}$

B．

﹣ $\frac{3}{4}$

C．

﹣1

D．

0

如图，已知点为线段的中点，且，连接，，是的平分线，与相交于点，于点，交于点，则的长为　　．

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

问题背景 如图（1），已知 $\mathit{\Delta ABC}\backsim \mathit{\Delta ADE}$ ，求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta ACE}$ ；

尝试应用 如图（2），在 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ADE}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=30°$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DE}$ 相交于点 $F$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BC}$ 边上， $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BD}}=\sqrt{3}$ ，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$ 的值；

拓展创新 如图（3）， $D$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内一点， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBD}=30°$ ， $\angle \mathit{BDC}=90°$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$ ，直接写出 $\mathit{AD}$ 的长．

如图， $\angle \mathit{MBN}=90°$，点 $C$是 $\angle \mathit{MBN}$平分线上的一点，过点 $C$分别作 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{BN}$，垂足分别为点 $C$， $E$， $\mathit{AC}=4\sqrt{2}$，点 $P$为线段 $\mathit{BE}$上的一点（点 $P$不与点 $B$、 $E$重合），连接 $\mathit{CP}$，以 $\mathit{CP}$为直角边，点 $P$为直角顶点，作等腰直角三角形 $\mathit{CPD}$，点 $D$落在 $\mathit{BC}$左侧．

（1）求证： $\frac{\mathit{CP}}{\mathit{CD}}=\frac{\mathit{CE}}{\mathit{CB}}$；

（2）连接 $\mathit{BD}$，请你判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的位置关系，并说明理由；

（3）设 $\mathit{PE}=x$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数关系式．

某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为斜边向外侧作 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$， $\text{Rt}\Delta \text{ACE}$， $\text{Rt}\Delta \text{BCF}$，若 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，则面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系式为　    　；

推广验证

（2）如图3，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为边向外侧作任意 $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta BCF}$，满足 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$， $\angle D=\angle E=\angle F$，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $\mathit{ABCDE}$中， $\angle A=\angle E=\angle C=105°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DE}=2$，点 $P$在 $\mathit{AE}$上， $\angle \mathit{ABP}=30°$， $\mathit{PE}=\sqrt{2}$，求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$，点 $P$是 $\mathit{CD}$边上的任意一点（不含 $C$， $D$两端点），过点 $P$作 $\mathit{PF}//\mathit{BC}$，交对角线 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）如图1，将 $\mathit{\Delta PDF}$沿对角线 $\mathit{BD}$翻折得到 $\mathit{\Delta QDF}$， $\mathit{QF}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰三角形；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta PDF}$绕点 $D$逆时针方向旋转得到△ $P^{\text{'}}D{F}^{\text{'}}$，连接 $P^{\text{'}}C$， $F^{\text{'}}B$．设旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$．

①若 $0°<\alpha <\angle \mathit{BDC}$，即 $D{F}^{\text{'}}$在 $\angle \mathit{BDC}$的内部时，求证：△ $D{P}^{\text{'}}C\backsim$△ $D{F}^{\text{'}}B$．

②如图3，若点 $P$是 $\mathit{CD}$的中点，△ $D{F}^{\text{'}}B$能否为直角三角形？如果能，试求出此时 $\tan \angle \mathit{DB}{F}^{\text{'}}$的值，如果不能，请说明理由．

如图1，直线 $l:y=-\frac{3}{4}x+b$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，点 $C$是线段 $\mathit{OA}$上一动点 $(0<\mathit{AC}<\frac{16}{5})$．以点 $A$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径作 $\odot A$交 $x$轴于另一点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\odot A$于点 $F$．

（1）求直线 $l$的函数表达式和 $\tan \angle \mathit{BAO}$的值；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$，当 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$时，

①求证： $\mathit{\Delta OCE}\backsim \mathit{\Delta OEA}$；

②求点 $E$的坐标；

（3）当点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上运动时，求 $\mathit{OE}\cdot \mathit{EF}$的最大值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，正方形 $\mathit{BDEF}$的边长为2，将正方形 $\mathit{BDEF}$绕点 $B$旋转一周，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$．

（1）请找出图中与 $\mathit{\Delta ABE}$相似的三角形，并说明理由；

（2）求当 $A$、 $E$、 $F$三点在一直线上时 $\mathit{CD}$的长；

（3）设 $\mathit{AE}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{FM}$，试求 $\mathit{FM}$长的取值范围．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于 $O$点，点 $M$在线段 $\mathit{BD}$上，作直线 $\mathit{AM}$交直线 $\mathit{DC}$于 $E$，过 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AE}$于 $H$，设直线 $\mathit{DH}$交 $\mathit{AC}$于 $N$．

（1）如图1，当 $M$在线段 $\mathit{BO}$上时，求证： $\mathit{MO}=\mathit{NO}$；

（2）如图2，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{EN}//\mathit{BD}$时，求证： $\mathit{BM}=\mathit{AB}$；

（3）在图3，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{NE}\perp \mathit{EC}$时，求证： $A{N}^2=\mathit{NC}\cdot \mathit{AC}$．

已知： $A$、 $B$两点在直线 $l$的同一侧，线段 $\mathit{AO}$， $\mathit{BM}$均是直线 $l$的垂线段，且 $\mathit{BM}$在 $\mathit{AO}$的右边， $\mathit{AO}=2\mathit{BM}$，将 $\mathit{BM}$沿直线 $l$向右平移，在平移过程中，始终保持 $\angle \mathit{ABP}=90°$不变， $\mathit{BP}$边与直线 $l$相交于点 $P$．

（1）当 $P$与 $O$重合时（如图2所示），设点 $C$是 $\mathit{AO}$的中点，连接 $\mathit{BC}$．求证：四边形 $\mathit{OCBM}$是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PB}}=\frac{\mathit{OM}}{\mathit{BM}}$；

（3）若 $\mathit{AO}=2\sqrt{6}$，且当 $\mathit{MO}=2\mathit{PO}$时，请直接写出 $\mathit{AB}$和 $\mathit{PB}$的长．

如图， 在平面直角坐标系中， 把矩形 $\mathit{OABC}$沿对角线 $\mathit{AC}$所在直线折叠， 点 $B$落在点 $D$处， $\mathit{DC}$与 $y$轴相交于点 $E$，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$， $\mathit{OA}$的长是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-12x+32=0$的两个根， 且 $\mathit{OA}>\mathit{OC}$．

（1） 求线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$的长；

（2） 求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta COE}$，并求出线段 $\mathit{OE}$的长；

（3） 直接写出点 $D$的坐标；

（4） 若 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点， 在坐标平面内是否存在点 $P$，使以点 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出 $P$点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．