如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在平面直角坐标系中，把矩形 $OABC$ 沿对角线 $AC$ 所在直线折叠，点 $B$ 落在点 $D$ 处， $DC$ 与 $y$ 轴相交于点 $E$ ，矩形 $OABC$ 的边 $OC$ ， $OA$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 12 x + 32 = 0$ 的两个根，且 $OA > OC$ ．

（1）求线段 $OA$ ， $OC$ 的长；

（2）求证： $ΔADE ≅ ΔCOE$ ，并求出线段 $OE$ 的长；

（3）直接写出点 $D$ 的坐标；

（4）若 $F$ 是直线 $AC$ 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $P$ ，使以点 $E$ ， $C$ ， $P$ ， $F$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 $P$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在菱形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）证明四边形 $BEDF$ 是菱形．

题型：未知
难度：未知

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先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{2 x + 2}$ ，其中 $x = 1$ ．

题型：未知
难度：未知

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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和 $B (- 5, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $P$ ，点 $N$ 在抛物线对称轴上且位于 $x$ 轴下方，连 $AN$ 交抛物线于 $M$ ，连 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan ∠ ACM = 2$ 时，求 $M$ 点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线 $l$ ，过 $M$ 作 $MD ⊥ l$ 于 $D$ ，若 $MD = \sqrt{3} MN$ ，求 $N$ 点的坐标．

题型：未知
难度：未知

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已知等边三角形 $ABC$ ，过 $A$ 点作 $AC$ 的垂线 $l$ ，点 $P$ 为 $l$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连接 $CP$ ，把线段 $CP$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $CQ$ ，连 $QB$ ．

（1）如图1，直接写出线段 $AP$ 与 $BQ$ 的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$ 、 $B$ 在 $AC$ 同侧且 $AP = AC$ 时，求证：直线 $PB$ 垂直平分线段 $CQ$ ；

（3）如图3，若等边三角形 $ABC$ 的边长为4，点 $P$ 、 $B$ 分别位于直线 $AC$ 异侧，且 $ΔAPQ$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求线段 $AP$ 的长度．

题型：未知
难度：未知

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某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/ kg$ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$ （元 $/ kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的函数关系式为： $y = \{\begin{matrix} 0.25 x + 30 (1 ⩽ x ⩽ 20 且 x 为整数) \\ 35 (20 < x ⩽ 40 且 x 为整数) \end{matrix}$ ，且日销量 $m (kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$ （天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m (kg)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$ 与 $x$ 的函数关系为　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1 kg$ 商品就捐赠 $n$ 元利润 $(n < 4)$ 给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$ 的增大而增大，求 $n$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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