如图（1），已知点 $G$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上， $\mathit{GE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$， $\mathit{GF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$．

（1）证明与推断：

①求证：四边形 $\mathit{CEGF}$是正方形；

②推断： $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BE}}$的值为　     　

（2）探究与证明：

将正方形 $\mathit{CEGF}$绕点 $C$顺时针方向旋转 $\alpha$角 $(0°<\alpha <45°)$，如图（2）所示，试探究线段 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形 $\mathit{CEGF}$在旋转过程中，当 $B$， $E$， $F$三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于点 $H$．若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{GH}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{BC}=$　    　．