如图,矩形 ABCD 中, AB = 2 , AD = 4 . E , F 分别在 AD , BC 上,点 A 与点 C 关于 EF 所在的直线对称, P 是边 DC 上的一动点.
(1)连接 AF , CE ,求证四边形 AFCE 是菱形;
(2)当 ΔPEF 的周长最小时,求 DP CP 的值;
(3)连接 BP 交 EF 于点 M ,当 ∠ EMP = 45 ° 时,求 CP 的长.
(2012福建漳州14分)如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动 点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以 acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动. 设运动时间为t秒. (1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm; (2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大? (3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.
如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.(1)求该二次函数的解析式;(2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC;(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.连接AN,当△AMN的面积最大时,①求t的值;②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.
(年云南昆明9分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使,求K点坐标.
(年新疆区、兵团12分)如图,直线与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t≤3).(1)写出A,B两点的坐标;(2)设△AQP的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式;并求出当t为何值时,△AQP的面积最大?(3)当t为何值时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似,并直接写出此时点Q的坐标.
(年四川雅安12分)如图,直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C,经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点.(1)试求点A、C的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动,同时,点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动(当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动),又PN∥x轴,交AC于P,问在运动过程中,线段PM的长度是否存在最小值?若有,试求出最小值;若无,请说明理由.