初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．

（1）求证：；

（2）当时（如图，求的长；

（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．

如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径；

（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长．

如图，为的直径，为上的一点，，，的延长线交于点，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若为的中点，求的值．

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长（用，表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形呢？

如图2，小波画出了图1的，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在上任取一点，画正方形，使点，在边上，点在内，然后连结，并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．

（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段称为“波利亚线”，在该线上截取，连结，（如图，当时，求“波利亚线” 的长（用，表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，正方形的顶点在第二象限内，是中点，于点，连结．动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在直线上从某一点向终点匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点的坐标和的长．

（2）设点为，当时，求点的坐标．

（3）根据（2）的条件，当点运动到中点时，点恰好与点重合．

①延长交直线于点，当点在线段上时，设，，求关于的函数表达式．

②当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．

如图，正方形的边长为2，为的中点，是延长线上的一点，连接交于点，．

（1）求的值；

（2）如图1，连接，在线段上取一点，使，连接，求证：；

（3）如图2，过点作于点，在线段上取一点，使，连接，．将绕点旋转，使点旋转后的对应点落在边上．请判断点旋转后的对应点是否落在线段上，并说明理由．

如图，矩形中，，，点，分别在边，上，点，分别在边，上，，交于点，记．

（1）若的值为1，当时，求的值．

（2）若的值为，求的最大值和最小值．

（3）若的值为3，当点是矩形的顶点，，时，求的值．

如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、．

（1）求的长．

（2）若点是线段的中点，求的值．

（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得？

如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．

（1）求证：．

（2）当，时，求的长．

（3）设，．

①求关于的函数表达式；

②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值．

定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．

求证：四边形是邻余四边形．

（2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连结并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长．

如图，在等腰中，，，点，分别在边，上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到．

（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．

（2）已知点为的中点．

①如图2，若，，求的长．

②若，是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．小波把线段称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，（如图．当时，猜想的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点．

（1）如图1，连接，．若点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作于点，过点作交轴于点．点，分别在对称轴和轴上运动，连接，．当的周长最大时，求的最小值及点的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线经过原点时停止平移，此时抛物线顶点记为，为直线上一点，连接点，，，△能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

如图1，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$ ，点 $B$ 在第一象限内，点 $C$ 是二次函数图象的顶点，点 $M$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，且 $S_{\mathit{\Delta AMO}}:S_{\mathit{四边形}\mathit{AONB}}=1:48$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 和直线 $\mathit{BC}$ 的解析式；

（2）点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点，点 $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{PD}//x$ 轴，射线 $\mathit{PD}$ 与抛物线交于点 $G$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp x$ 轴于点 $E$ ， $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$ 于点 $F$ ．当 $\mathit{PF}$ 与 $\mathit{PE}$ 的乘积最大时，在线段 $\mathit{AB}$ 上找一点 $H$ （不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），使 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的值最小，求点 $H$ 的坐标和 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的最小值；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$ 上有一点 $K(3,4)$ ，将二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 沿直线 $\mathit{BC}$ 平移，平移的距离是 $t(t⩾0)$ ，平移后抛物线上点 $A$ ，点 $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ，点 $C\text{'}$ ；当△ $A\text{'}C\text{'}K$ 是直角三角形时，求 $t$ 的值．

如图，是的直径，、两点在的延长线上，是上的点，且，延长至，使得，设，．

（1）求证：；

（2）求，的长；

（3）若点在、、三点确定的圆上，求的长．