如图，与
的
边相切于点
，与
、
边分别交于点
、
，
，
是
的直径．
（1）求证：是
的切线；
（2）若，
，求
的长．
[问题探究]
（1）如图1，和
均为等腰直角三角形，
，点
，
，
在同一直线上，连接
，
．
①请探究与
之间的位置关系： ；
②若，
，则线段
的长为 ；
[拓展延伸]
（2）如图2，和
均为直角三角形，
，
，
，
，
．将
绕点
在平面内顺时针旋转，设旋转角
为
，作直线
，连接
，当点
，
，
在同一直线上时，画出图形，并求线段
的长．
（1）方法选择
如图①，四边形是
的内接四边形，连接
，
，
．求证：
．
小颖认为可用截长法证明：在上截取
，连接
小军认为可用补短法证明：延长至点
，使得
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
[探究1]
如图②，四边形是
的内接四边形，连接
，
，
是
的直径，
．试用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证明你的结论．
[探究2]
如图③，四边形是
的内接四边形，连接
，
．若
是
的直径，
，则线段
，
，
之间的等量关系式是
．
（3）拓展猜想
如图④，四边形是
的内接四边形，连接
，
．若
是
的直径，
，则线段
，
，
之间的等量关系式是 ．
如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度米，货厢底面距地面的高度
米，坡面与地面的夹角
，木箱的长
为2米，高
和宽都是1.6米．通过计算判断：当
，木箱底部顶点
与坡面底部点
重合时，木箱上部顶点
会不会触碰到汽车货厢顶部．
若二次函数的图象与
轴、
轴分别交于点
、
，且过点
．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且
，求点
的坐标；
（3）在抛物线上下方）是否存在点
，使
？若存在，求出点
到
轴的距离；若不存在，请说明理由．
在矩形中，
于点
，点
是边
上一点．
（1）若平分
，交
于点
，
于点
，如图①，证明四边形
是菱形；
（2）若，如图②，求证：
；
（3）在（2）的条件下，若，
，求
的长．
如图1，在平面直角坐标系中，直线与
轴，
轴分别交于
，
两点，抛物线
经过
，
两点，与
轴的另一交点为
．
（1）求抛物线解析式及点坐标；
（2）若点为
轴下方抛物线上一动点，连接
、
、
，当点
运动到某一位置时，四边形
面积最大，求此时点
的坐标及四边形
的面积；
（3）如图2，若点是半径为2的
上一动点，连接
、
，当点
运动到某一位置时，
的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
已知：如图，在四边形中，
，
，
，
，
垂直平分
．点
从点
出发，沿
方向匀速运动，速度为
；同时，点
从点
出发，沿
方向匀速运动，速度为
；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点
作
，交
于点
，过点
作
，分别交
，
于点
，
．连接
，
．设运动时间为
，解答下列问题：
（1）当为何值时，点
在
的平分线上？
（2）设四边形的面积为
，求
与
的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形
的面积最大？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接，
，在运动过程中，是否存在某一时刻
，使
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与
轴交于点
，点
，与
轴交于点
，连接
．又已知位于
轴右侧且垂直于
轴的动直线
，沿
轴正方向从
运动到
（不含
点和
点），且分别交抛物线、线段
以及
轴于点
，
，
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，
，当直线
运动时，求使得
和
相似的点
的坐标；
（3）作，垂足为
，当直线
运动时，求
面积的最大值．
如图，内接于
，
为直径，作
交
于点
，延长
，
交于点
，过点
作
的切线
，交
于点
．
（1）求证：；
（2）如果，
，求弦
的长．
如图1，在矩形中，
，
，
是
边上一点，连接
，将矩形
沿
折叠，顶点
恰好落在
边上点
处，延长
交
的延长线于点
．
（1）求线段的长；
（2）如图2，，
分别是线段
，
上的动点（与端点不重合），且
，设
，
．
①写出关于
的函数解析式，并求出
的最小值；
②是否存在这样的点，使
是等腰三角形？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．
如图，是
的直径，
是
上一点，
是
的中点，
为
延长线上一点，且
，
与
交于点
，与
交于点
．
（1）求证：是
的切线；
（2）若，
，求直径
的长．
如图1，抛物线经过点
、
两点，
是其顶点，将抛物线
绕点
旋转
，得到新的抛物线
．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点
的坐标；
（2）如图2，直线经过点
，
是抛物线
上的一点，设
点的横坐标为
，连接
并延长，交抛物线
于点
，交直线
于点
，若
，求
的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、
，在直线
下方的抛物线
上是否存在点
，使得
？若存在，求出点
的横坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线经过
，
，
三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若
面积为3，求点
的坐标；
（3）如图2，为抛物线的顶点，在线段
上是否存在点
，使得以
，
，
为顶点的三角形与
相似？若存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由．
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