初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是一元二次方程 $x^2-7x+12=0$的两个根 $(\mathit{BC}>\mathit{AB})$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，边 $\mathit{CD}$交 $y$轴于点 $E$，动点 $P$以每秒1个单位长度的速度，从点 $E$出发沿折线段 $\mathit{ED}-\mathit{DA}$向点 $A$运动，运动的时间为 $t(0⩽t<6)$秒，设 $\mathit{\Delta BOP}$与矩形 $\mathit{AOED}$重叠部分的面积为 $S$．

（1）求点 $D$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$的运动过程中，是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$为等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知： $A$、 $B$两点在直线 $l$的同一侧，线段 $\mathit{AO}$， $\mathit{BM}$均是直线 $l$的垂线段，且 $\mathit{BM}$在 $\mathit{AO}$的右边， $\mathit{AO}=2\mathit{BM}$，将 $\mathit{BM}$沿直线 $l$向右平移，在平移过程中，始终保持 $\angle \mathit{ABP}=90°$不变， $\mathit{BP}$边与直线 $l$相交于点 $P$．

（1）当 $P$与 $O$重合时（如图2所示），设点 $C$是 $\mathit{AO}$的中点，连接 $\mathit{BC}$．求证：四边形 $\mathit{OCBM}$是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PB}}=\frac{\mathit{OM}}{\mathit{BM}}$；

（3）若 $\mathit{AO}=2\sqrt{6}$，且当 $\mathit{MO}=2\mathit{PO}$时，请直接写出 $\mathit{AB}$和 $\mathit{PB}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $E$是 $\mathit{BD}$上一点， $\mathit{EF}//\mathit{AB}$， $\angle \mathit{EAB}=\angle \mathit{EBA}$，过点 $B$作 $\mathit{DA}$的垂线，交 $\mathit{DA}$的延长线于点 $G$．

（1） $\angle \mathit{DEF}$和 $\angle \mathit{AEF}$是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与 $\mathit{\Delta AGB}$相似的三角形，并证明；

（3） $\mathit{BF}$的延长线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $H$，交 $\mathit{AC}$于点 $M$．求证： $B{M}^2=\mathit{MF}·\mathit{MH}$．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)(a>0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线上另有一点 $C$在 $x$轴下方，且使 $\mathit{\Delta OCA}\backsim \mathit{\Delta OBC}$．

（1）求线段 $\mathit{OC}$的长度；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $M$，点 $C$是 $\mathit{BM}$的中点时，求直线 $\mathit{BM}$和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上是否存在一点 $P$，使得四边形 $\mathit{ABPC}$面积最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于另一点 $A(\frac{3}{2}$， $0)$，在第一象限内与直线 $y=x$交于点 $B(2,t)$．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$，满足以 $B$， $O$， $C$为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$的坐标；

（3）如图2，若点 $M$在这条抛物线上，且 $\angle \mathit{MBO}=\angle \mathit{ABO}$，在（2）的条件下，是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta POC}\backsim \mathit{\Delta MOB}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

定义：点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部或边上的点（顶点除外），在 $\mathit{\Delta PAB}$， $\mathit{\Delta PBC}$， $\mathit{\Delta PCA}$中，若至少有一个三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，则称点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

例如：如图1，点 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\angle \mathit{PBC}=\angle A$， $\angle \mathit{BCP}=\angle \mathit{ABC}$，则 $\mathit{\Delta BCP}\backsim \mathit{\Delta ABC}$，故点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$是曲线 $y=\frac{3\sqrt{3}}{x}(x>0)$上的任意一点，点 $N$是 $x$轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$是 $\mathit{OM}$上一点， $\angle \mathit{ONP}=\angle M$，试说明点 $P$是 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点；当点 $M$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $3)$，点 $N$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $0)$时，求点 $P$的坐标；

（2）如图3，当点 $M$的坐标是 $(3,\sqrt{3})$，点 $N$的坐标是 $(2,0)$时，求 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$和点 $N$，使 $\mathit{\Delta MON}$无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图，抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$，点 $C(0,4)$，作 $\mathit{CD}//x$轴交抛物线于点 $D$，作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，动点 $M$从点 $E$出发在线段 $\mathit{EA}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，同时动点 $N$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $\mathit{\Delta DMN}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）①当 $\mathit{MN}//\mathit{DE}$时，直接写出 $t$的值；

②在点 $M$和点 $N$运动过程中，是否存在某一时刻，使 $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$？若存在，直接写出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；

（2）点 $P$是抛物线上一点（不与点 $A$重合），且 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数；

（3）在（2）的条件下，点 $E$是 $x$轴上方抛物线上一点，点 $F$是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点 $E$和点 $F$，使得以点 $B$、 $P$、 $E$、 $F$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta OBC}$沿 $\mathit{BC}$所在的直线翻折，得到 $\mathit{\Delta DBC}$，连接 $\mathit{OD}$．

（1）用含 $a$的代数式表示点 $C$的坐标．

（2）如图1，若点 $D$落在抛物线的对称轴上，且在 $x$轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设 $\mathit{\Delta OBD}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta OAC}$的面积为 $S_2$，若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{3}$，求 $a$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=90°$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AC}=4$ ，点 $M$ ， $Q$ 分别是边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 上的动点（点 $M$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），且 $\mathit{MQ}\perp \mathit{BC}$ ，过点 $M$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线 $\mathit{MN}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{NQ}$ ，设 $\mathit{BQ}$ 为 $x$ ．

（1）试说明不论 $x$ 为何值时，总有 $\mathit{\Delta QBM}\backsim \mathit{\Delta ABC}$ ；

（2）是否存在一点 $Q$ ，使得四边形 $\mathit{BMNQ}$ 为平行四边形，试说明理由；

（3）当 $x$ 为何值时，四边形 $\mathit{BMNQ}$ 的面积最大，并求出最大值．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-n(n>0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点 $(A$点在 $B$点的左边），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）如图1，若 $\mathit{\Delta ABC}$为直角三角形，求 $n$的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点 $P$在抛物线上，点 $Q$在抛物线的对称轴上，若以 $\mathit{BC}$为边，以点 $B$、 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点的坐标；

（3）如图2，过点 $A$作直线 $\mathit{BC}$的平行线交抛物线于另一点 $D$，交 $y$轴于点 $E$，若 $\mathit{AE}:\mathit{ED}=1:4$，求 $n$的值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$，点 $P$是 $\mathit{CD}$边上的任意一点（不含 $C$， $D$两端点），过点 $P$作 $\mathit{PF}//\mathit{BC}$，交对角线 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）如图1，将 $\mathit{\Delta PDF}$沿对角线 $\mathit{BD}$翻折得到 $\mathit{\Delta QDF}$， $\mathit{QF}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰三角形；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta PDF}$绕点 $D$逆时针方向旋转得到△ $P^{\text{'}}D{F}^{\text{'}}$，连接 $P^{\text{'}}C$， $F^{\text{'}}B$．设旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$．

①若 $0°<\alpha <\angle \mathit{BDC}$，即 $D{F}^{\text{'}}$在 $\angle \mathit{BDC}$的内部时，求证：△ $D{P}^{\text{'}}C\backsim$△ $D{F}^{\text{'}}B$．

②如图3，若点 $P$是 $\mathit{CD}$的中点，△ $D{F}^{\text{'}}B$能否为直角三角形？如果能，试求出此时 $\tan \angle \mathit{DB}{F}^{\text{'}}$的值，如果不能，请说明理由．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于 $O$点，点 $M$在线段 $\mathit{BD}$上，作直线 $\mathit{AM}$交直线 $\mathit{DC}$于 $E$，过 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AE}$于 $H$，设直线 $\mathit{DH}$交 $\mathit{AC}$于 $N$．

（1）如图1，当 $M$在线段 $\mathit{BO}$上时，求证： $\mathit{MO}=\mathit{NO}$；

（2）如图2，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{EN}//\mathit{BD}$时，求证： $\mathit{BM}=\mathit{AB}$；

（3）在图3，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{NE}\perp \mathit{EC}$时，求证： $A{N}^2=\mathit{NC}\cdot \mathit{AC}$．

已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c+1$，

①当 $b=1$时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若 $c=-\frac{1}{4}{b}^2-2b$，问： $b$为何值时，二次函数的图象与 $x$轴相切？

③若二次函数的图象与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$， $b>0$，与 $y$轴的正半轴交于点 $M$，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆恰好过点 $M$，二次函数的对称轴 $l$与 $x$轴、直线 $\mathit{BM}$、直线 $\mathit{AM}$分别交于点 $D$、 $E$、 $F$，且满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EF}}=\frac{1}{3}$，求二次函数的表达式．