初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+4a-6(a>0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）当 $a=6$ 时，直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的坐标：

$A$ 　　， $B$ 　　， $C$ 　　， $D$ 　　；

（2）如图1，直线 $\mathit{DC}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $\tan \angle \mathit{AED}=\frac{4}{3}$ ，求 $a$ 的值和 $\mathit{CE}$ 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点 $N$ 为 $\mathit{OC}$ 的中点，动点 $P$ 在第三象限的抛物线上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，交 $\mathit{AN}$ 于点 $F$ ；过点 $F$ 作 $\mathit{FH}\perp \mathit{DE}$ ，垂足为 $H$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，记 $f=\mathit{FP}+\mathit{FH}$ ．

①用含 $t$ 的代数式表示 $f$ ；

②设 $-5<t⩽m(m<0)$ ，求 $f$ 的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$ 的对称轴为直线 $x=\frac{3}{2}$ ，其图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ $(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式和 $\angle \mathit{CAO}$ 的度数；

（2）动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发，点 $M$ 以每秒3个单位的速度在线段 $\mathit{AB}$ 上运动，点 $N$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在线段 $\mathit{AC}$ 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 $t(t>0)$ 秒，连接 $\mathit{MN}$ ，再将线段 $\mathit{MN}$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90°$ ，设点 $N$ 落在点 $D$ 的位置，若点 $D$ 恰好落在抛物线上，求 $t$ 的值及此时点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，设 $P$ 为抛物线上一动点， $Q$ 为 $y$ 轴上一动点，当以点 $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MDB}$ 相似时，请直接写出点 $P$ 及其对应的点 $Q$ 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$ 过点 $A(-1,0)$ 和 $C(0,3)$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2）如图1， $E$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线上一点， $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ， $\mathit{EM}\perp x$ 轴，垂足为 $M$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．当 $\mathit{BG}=\mathit{CF}$ 时，求 $\mathit{\Delta EFG}$ 的面积；

（3）如图2， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 的延长线交于点 $H$ ，在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{AHB}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中， $A(-2,-1)$ ， $B(3,-1)$ ，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AO}$ 延长线于 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，过 $O$ 作 $\mathit{ED}//\mathit{BC}$ 分别交 $\mathit{AB}$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $\mathit{OBCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OAB}$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{\mathit{\Delta EPQ}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过、两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上的一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及轴分别交于点、．，垂足为．设．

①点在抛物线上运动，若、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的的值；

②当点在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点，使与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式（指出自变量的取值范围）和的最大值；

（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．

如图1，抛物线与抛物线相交轴于点，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．

（1）求抛物线的解析式与的值；

（2）抛物线的对称轴交轴于点，连接，在轴上方的对称轴上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，求出的长；

（3）如图2，过抛物线上的动点作轴于点，交直线于点，若点是点关于直线的对称点，是否存在点（不与点重合），使点落在轴上？若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程的两个根，．

（1）求点，的坐标；

（2）为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，双曲线的一个分支过点．求的值；

（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $\mathit{BO}=3\mathit{AO}=3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求直线 $\mathit{BD}$ 的函数解析式；

（3）点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $\mathit{BA}$ 上．当 $\mathit{\Delta ABD}$ 与 $\mathit{\Delta BPQ}$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　，线段的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点是线段下方抛物线上的一个动点．

①如果在轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．求点的坐标．

②如图2，过点作交线段于点，过点作直线交于点，交轴于点，记，求关于的函数解析式；当取和时，试比较的对应函数值和的大小．

如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．

（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接，，设点是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点．设线段的长为，求与的函数关系式，并注明的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的面积为，

①求点的坐标；

②设为直线上一动点，连接，直线交直线于点，则点在运动过程中，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及其对应的点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线经过点和，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上点不与，重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；

（3）若点在抛物线上，且，试确定满足条件的点的个数．

如图，抛物线的图象经过点，顶点的坐标为，与轴交于、两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接，为直线上一点，当时，求点的坐标和的值．

（3）点是轴上一动点，当为何值时，的值最小．并求出这个最小值．

（4）点关于轴的对称点为，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．