如图，在直角坐标系中，直线$y=-\frac{1}{2}x+3$与$x$轴，$y$轴分别交于点$B$，点$C$，对称轴为$x=1$的抛物线过$B$，$C$两点，且交$x$轴于另一点$A$，连接$\mathit{AC}$．

（1）直接写出点$A$，点$B$，点$C$的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点$P$为第一象限内抛物线上一点，当点$P$到直线$\mathit{BC}$的距离最大时，求点$P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点$Q$（点$C$除外），使以点$Q$，$A$，$B$为顶点的三角形与$\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由．