如图，抛物线$y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$的图象经过点$C(0,-2)$，顶点$D$的坐标为$(1,-\frac{8}{3})$，与$x$轴交于$A$、$B$两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接$\mathit{AC}$，$E$为直线$\mathit{AC}$上一点，当$\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta AEB}$时，求点$E$的坐标和$\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AB}}$的值．

（3）点$F(0,y)$是$y$轴上一动点，当$y$为何值时，$\frac{\sqrt{5}}{5}\mathit{FC}+\mathit{BF}$的值最小．并求出这个最小值．

（4）点$C$关于$x$轴的对称点为$H$，当$\frac{\sqrt{5}}{5}\mathit{FC}+\mathit{BF}$取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使$\mathit{\Delta QHF}$是直角三角形？若存在，请求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由．