初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，以 BC为直径的⊙ O交斜边 AB于点 M，若 H是 AC的中点，连接 MH．

（1）求证： MH为⊙ O的切线．

（2）若 $\mathit{MH}=\frac{3}{2},$ $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$ ，求⊙ O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点 A、 B作⊙ O的切线，两切线交于点 D， AD与⊙ O相切于 N点，过 N点作 NQ⊥ BC，垂足为 E，且交⊙ O于 Q点，求线段 NQ的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，连结 $\mathit{OC}$，弦 $\mathit{AD}$分别交 $\mathit{OC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，其中点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CBA}$．

（2）求 $\mathit{OE}$的长．

如图，在Rt△ABC中， $\angle C＝90°$，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．

（1）求证：AD平分∠CAB；

（2）若 $\mathit{OH}\perp \mathit{AD}$于点H，FH平分 $\angle \mathit{AFE}，\mathit{DG}＝1$．

①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；

②求⊙O的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $O$ 是 $\mathit{AB}$ 边上的一点，以 $\mathit{OA}$ 为半径的 $\odot O$ 与边 $\mathit{BC}$ 相切于点 $E$ ．

（1）若 $\mathit{AC}=5$ ， $\mathit{BC}=13$ ，求 $\odot O$ 的半径；

（2）过点 $E$ 作弦 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ 于 $M$ ，连接 $\mathit{AF}$ ，若 $\angle F=2\angle B$ ，求证：四边形 $\mathit{ACEF}$ 是菱形．

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作 $\mathit{EG}\parallel \mathit{CD}$交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AG}＝6$， $\mathit{EG}=2\sqrt{5}$，求BE的长．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$为角平分线， $\angle A=40°$， $\angle B=60°$，求证： $\mathit{CD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线．

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=48°$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$为等腰三角形，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数．

（3）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{BC}=\sqrt{2}$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$是以 $\mathit{CD}$为底边的等腰三角形，求完美分割线 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，作 $\mathit{ED}\perp \mathit{EB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta BED}$的外接圆．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\odot O$的半径为2.5， $\mathit{BE}=4$，求 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=\angle B=90°$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于 $E$，若 $\mathit{DE}=\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DE}$于点 $F$，若 $\angle \mathit{ADE}=30°$， $\mathit{AD}=6$，求 $\mathit{DF}$的长．

阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $F=\frac{9}{5}C+32$得出，当 $C=10$时， $F=50$．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种根据特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以根据公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$求得 $R$的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $120°$的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$计算：当 $R_1=7.5$， $R_2=5$时， $R$的值为多少；

②如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=120°$， $\mathit{OC}$是 $\mathit{\Delta AOB}$的角平分线， $\mathit{OA}=7.5$， $\mathit{OB}=5$，用你所学的几何知识求线段 $\mathit{OC}$的长．

如图， $O$ 为线段 $\mathit{PB}$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的 $\odot O$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，连接 $\mathit{PC}$ ，满足 $P{C}^2=\mathit{PA}\cdot \mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{PA}$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CA}=6$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$是 $\angle \mathit{ABC}$的平分线， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AG}$是 $\angle \mathit{HAF}$的平分线，点 $E$在 $\mathit{AF}$上，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AG}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{AH}$的垂线，垂足为点 $C$，交 $\mathit{AF}$于点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=2\mathit{CD}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，求 $\mathit{BD}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是 $\odot O$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$，连接 $\mathit{FB}$， $\mathit{FD}$， $\mathit{FD}$交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）若 $\mathit{AE}=1$， $\mathit{CD}=6$，求 $\odot O$的半径；

（2）求证： $\mathit{\Delta BNF}$为等腰三角形；

（3）连接 $\mathit{FC}$并延长，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $P$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $M$．求证： $\mathit{ON}·\mathit{OP}=\mathit{OE}·\mathit{OM}$．