初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

（1）求证：AB是⊙O的切线．

（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D， $\tan D=\frac{1}{2}$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AC}}$的值．

（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$， $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $E$， $A$， $C$在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{CF}$，试判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究 $\mathit{\Delta CEF}$的两条边是否相等，如 $\mathit{EF}=\mathit{CF}$，以下是她的证明过程

证明：延长线段 $\mathit{EF}$交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $G$． $\because F$是 $\mathit{BD}$的中点， $\therefore \mathit{BF}=\mathit{DF}$． $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$， $\therefore \mathit{ED}//\mathit{CG}$．

$\therefore \angle \mathit{BGF}=\angle \mathit{DEF}$． 又 $\because \angle \mathit{BFG}=\angle \mathit{DFE}$， $\therefore \mathit{\Delta BGF}\cong \mathit{\Delta DEF}($　 $\mathit{AAS}$　 $)$． $\therefore \mathit{EF}=\mathit{FG}$． $\therefore \mathit{CF}=\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{EG}$．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在 $\mathit{SAS}$， $\mathit{ASA}$， $\mathit{AAS}$， $\mathit{SSS}$中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出 $\angle \mathit{CEF}$的度数，并判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$逆时针旋转某个角度时，连接 $\mathit{CE}$，延长 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $P$，其他条件不变，判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状并给出证明．

如图，已知 AD是△ ABC的外角∠ EAC的平分线，交 BC的延长线于点 D，延长 DA交△ ABC的外接圆于点 F，连接 FB， FC．

（1）求证：∠ FBC＝∠ FCB；

（2）已知 FA• FD＝12，若 AB是△ ABC外接圆的直径， FA＝2，求 CD的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，连接 $\mathit{AE}$， $\angle \mathit{DAE}$的平分线 $\mathit{AG}$与 $\mathit{CD}$边交于点 $G$，与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $F$．设 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{EB}}=\lambda (\lambda >0)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2$， $\lambda =1$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

（2）连接 $\mathit{EG}$，若 $\mathit{EG}\perp \mathit{AF}$，

①求证：点 $G$为 $\mathit{CD}$边的中点．

②求 $\lambda$的值．

如图，一次函数 y＝﹣ $\frac{\sqrt{\text{3}}}{\text{3}}$ x+1的图象与 x轴、 y轴分别交于点 A、 B，以线段 AB为边在第一象限作等边△ ABC．

（1）若点 C在反比例函数 y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）点 P（2 $\sqrt{3}$ ， m）在第一象限，过点 P作 x轴的垂线，垂足为 D，当△ PAD与△ OAB相似时， P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P点坐标；如果不在，请加以说明．

正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $6\mathit{cm}$，点 $E$、 $M$分别是线段 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AD}$上的动点，连接 $\mathit{AE}$并延长，交边 $\mathit{BC}$于 $F$，过 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AF}$，垂足为 $H$，交边 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）如图1，若点 $M$与点 $D$重合，求证： $\mathit{AF}=\mathit{MN}$；

（2）如图2，若点 $M$从点 $D$出发，以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{DA}$向点 $A$运动，同时点 $E$从点 $B$出发，以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{BD}$向点 $D$运动，运动时间为 $\mathit{ts}$．

①设 $\mathit{BF}=\mathit{ycm}$，求 $y$关于 $t$的函数表达式；

②当 $\mathit{BN}=2\mathit{AN}$时，连接 $\mathit{FN}$，求 $\mathit{FN}$的长．

如图， $C$是 $\odot O$上一点，点 $P$在直径 $\mathit{AB}$的延长线上， $\odot O$的半径为3， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=4$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求 $\tan \angle \mathit{CAB}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=\angle B=90°$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于 $E$，若 $\mathit{DE}=\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DE}$于点 $F$，若 $\angle \mathit{ADE}=30°$， $\mathit{AD}=6$，求 $\mathit{DF}$的长．

阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $F=\frac{9}{5}C+32$得出，当 $C=10$时， $F=50$．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种根据特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以根据公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$求得 $R$的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $120°$的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$计算：当 $R_1=7.5$， $R_2=5$时， $R$的值为多少；

②如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=120°$， $\mathit{OC}$是 $\mathit{\Delta AOB}$的角平分线， $\mathit{OA}=7.5$， $\mathit{OB}=5$，用你所学的几何知识求线段 $\mathit{OC}$的长．

如图， $O$ 为线段 $\mathit{PB}$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的 $\odot O$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，连接 $\mathit{PC}$ ，满足 $P{C}^2=\mathit{PA}\cdot \mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{PA}$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CA}=6$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$是 $\angle \mathit{ABC}$的平分线， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AG}$是 $\angle \mathit{HAF}$的平分线，点 $E$在 $\mathit{AF}$上，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AG}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{AH}$的垂线，垂足为点 $C$，交 $\mathit{AF}$于点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=2\mathit{CD}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，求 $\mathit{BD}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是 $\odot O$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$，连接 $\mathit{FB}$， $\mathit{FD}$， $\mathit{FD}$交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）若 $\mathit{AE}=1$， $\mathit{CD}=6$，求 $\odot O$的半径；

（2）求证： $\mathit{\Delta BNF}$为等腰三角形；

（3）连接 $\mathit{FC}$并延长，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $P$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $M$．求证： $\mathit{ON}·\mathit{OP}=\mathit{OE}·\mathit{OM}$．