初中数学圆解答题

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CD}$是弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $P$，过点 $D$的 $\odot O$的切线与 $\mathit{AB}$延长线交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$半径为3， $\mathit{CE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DEC}$．

如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；

（2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．

①若，求的值；

②证明：无论为何值，恒为直角三角形；

③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

如图1，在平面直角坐标系中， $A(-2,-1)$ ， $B(3,-1)$ ，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AO}$ 延长线于 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，过 $O$ 作 $\mathit{ED}//\mathit{BC}$ 分别交 $\mathit{AB}$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $\mathit{OBCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OAB}$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{\mathit{\Delta EPQ}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x=-1$ ，点 $C$ 坐标为 $(0,4)$ ．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{BCO}$ ，如果存在，求出点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $M$ 是直线 $\mathit{BP}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $M$ 到直线 $\mathit{BP}$ 的最大距离；

（4）点 $G$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上的动点，点 $H$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，三个动点都不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合，连接 $\mathit{GH}$ ， $\mathit{GQ}$ ， $\mathit{HQ}$ ，得到 $\mathit{\Delta GHQ}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta GHQ}$ 周长的最小值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆， $\mathit{AE}$ 是直径，交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=2$ ， $\mathit{AH}=\mathit{CG}=3$ ，求 $\mathit{EF}$ 和 $\mathit{CD}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$；

（2）若 $\angle B=30°$，求 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{DE}}$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $D$ 是 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的延长线上一点， $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{OAC}$ ．过圆心 $O$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{CE}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径及 $\tan \angle \mathit{OCB}$ 的值．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}\ne \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$上，且 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AF}$， $\mathit{CD}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}\perp \mathit{FB}$；

（2）求证：以 $\mathit{AD}$为直径的圆与 $\mathit{BC}$相切；

（3）若 $\mathit{EF}=2$， $\angle \mathit{DFE}=120°$，求 $\mathit{\Delta ADE}$的面积．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，将矩形 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $\mathit{EH}$ 与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $P$ 时，求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $\mathit{CB}$ 的延长线上时， $\mathit{GH}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $\mathit{EF}$ 的垂直平分线上；

（3）当 $\mathit{AB}=5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $\mathit{AD}$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

如图，点 C为△ ABD的外接圆上的一动点（点 C不在 $\stackrel{̂}{\mathit{BAD}}$ 上，且不与点 B， D重合），∠ ACB＝∠ ABD＝45°

（1）求证： BD是该外接圆的直径；

（2）连结 CD，求证： $\sqrt{2}\mathit{AC}=\mathit{BC}+\mathit{CD}$ ；

（3）若△ ABC关于直线 AB的对称图形为△ ABM，连接 DM，试探究 DM ²， AM ²， BM ²三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

如图， $\odot O$的半径为1，点 $A$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$为 $\odot O$上的一点， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$， $\angle A=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BND}}$上运动（不与 $B$、 $D$重合），过点 $C$作 $\mathit{CE}$的垂线，与 $\mathit{EB}$的延长线交于点 $F$．

①当点 $E$运动到与点 $C$关于直径 $\mathit{BD}$对称时，求 $\mathit{CF}$的长；

②当点 $E$运动到什么位置时， $\mathit{CF}$取到最大值，并求出此时 $\mathit{CF}$的长．

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；

（2）①如图1， $P$是边长为 $a$的正 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，点 $O$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，设点 $P$到 $\mathit{\Delta ABC}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$，由等面积法，易知 $\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=S_{\mathit{\Delta ABC}}=3S_{\mathit{\Delta OAB}}$，可得 $h_1+h_2+h_3=$　　；（结果用含 $a$的式子表示）

②如图2， $P$是边长为 $a$的正五边形 $\mathit{ABCDE}$内任意一点，设点 $P$到五边形 $\mathit{ABCDE}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$， $h_4$， $h_5$，参照①的探索过程，试用含 $a$的式子表示 $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5$的值．（参考数据： $\tan 36°\approx \frac{8}{11}$， $\tan 54°\approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $\odot O$的半径为2，点 $A$为 $\odot O$外一点， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{AB}$切 $\odot O$于点 $B$，弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$，连接 $\mathit{AC}$，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留 $\pi )$

②如图4，现有六边形花坛 $\mathit{ABCDEF}$，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $\mathit{ABCDG}$，其中点 $G$在 $\mathit{AF}$的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$的位置，并说明理由.

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上， $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$， $\odot O$是 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$的外接圆，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为5， $\mathit{AC}=8$，求 $S_{\mathit{\Delta BDE}}$．

在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣2，0）， B（2，0）， C（3，5）．

（1）求过点 A， C的直线解析式和过点 A， B， C的抛物线的解析式；

（2）求过点 A， B及抛物线的顶点 D的⊙ P的圆心 P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 Q，使 AQ与⊙ P相切，若存在请求出 Q点坐标．

如图，锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线 $\mathit{AG}$ 交 $\odot O$ 于点 $G$ ，交 $\mathit{BC}$ 边于点 $F$ ，连接 $\mathit{BG}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABG}\backsim \mathit{\Delta AFC}$ ．

（2）已知 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{AC}=\mathit{AF}=b$ ，求线段 $\mathit{FG}$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．

（3）已知点 $E$ 在线段 $\mathit{AF}$ 上（不与点 $A$ ，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $\mathit{AE}$ 上（不与点 $A$ ，点 $E$ 重合）， $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{CBE}$ ，求证： $B{G}^2=\mathit{GE}\cdot \mathit{GD}$ ．