初中数学圆解答题

如图，直线 $\mathit{AB}$经过 $\odot O$上的点 $C$，直线 $\mathit{BO}$与 $\odot O$交于点 $F$和点 $D$， $\mathit{OA}$与 $\odot O$交于点 $E$，与 $\mathit{DC}$交于点 $G$， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{FC}//\mathit{OA}$， $\mathit{CD}=6$，求图中阴影部分面积．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$， $D$是 $\odot O$上两点， $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{AD}$的垂线，垂足是 $E$．连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{DF}}=\sqrt{6}$，求 $\cos \angle \mathit{ABD}$的值．

如图， $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上一点，过点 $D$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，过点 $B$作 $\mathit{BC}\perp \mathit{DE}$交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $C$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$为9， $\sin A=\frac{1}{3}$．

①求线段 $\mathit{BF}$的长；

②求线段 $\mathit{BE}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\angle \mathit{OCB}$的角平分线交 $\odot O$于点 $D$， $F$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan \angle A=\frac{1}{2}$， $\odot O$的半径为3，求 $\mathit{EF}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\odot O$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$分别相切于点 $E$， $F$， $\mathit{BO}$平分 $\angle \mathit{ABC}$，连接 $\mathit{OA}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{AC}=3$， $\odot O$的半径是1，求图中阴影部分的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $O$为 $\mathit{BC}$边上一点，以 $O$为圆心， $\mathit{OB}$长为半径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$边相切于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AD}$；

（2）连接 $\mathit{DE}$，若 $\tan \angle \mathit{EDC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{DE}=2$，求线段 $\mathit{EC}$的长．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $\mathit{\Delta ABO}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,3)$， $B(-4,3)$， $O(0,0)$．

（1）画出 $\mathit{\Delta ABO}$关于 $x$轴对称的△ $A_1{B}_{1}O$，并写出点 $A_1$的坐标；

（2）画出 $\mathit{\Delta ABO}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到的△ $A_2{B}_{2}O$，并写出点 $A_2$的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点 $A$旋转到点 $A_2$所经过的路径长（结果保留 $\pi )$．

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$的连接点 $P$在 $\odot O$上，当点 $P$在 $\odot O$上转动时，带动点 $A$， $B$分别在射线 $\mathit{OM}$， $\mathit{ON}$上滑动， $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$．当 $\mathit{AP}$与 $\odot O$相切时，点 $B$恰好落在 $\odot O$上，如图2．

请仅就图2的情形解答下列问题．

（1）求证： $\angle \mathit{PAO}=2\angle \mathit{PBO}$；

（2）若 $\odot O$的半径为5， $\mathit{AP}=\frac{20}{3}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图， $\mathit{PA}$是以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$的切线，切点为 $A$，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp \mathit{OP}$，交 $\odot O$于点 $B$．

（1）求证： $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\cos \angle \mathit{PAB}=\frac{3}{5}$，求 $\mathit{PO}$的长．

如图， $\odot O$与等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$分别交于点 $D$， $E$， $\mathit{AE}$是直径，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{EF}$，当 $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线时，求 $\odot O$的半径 $r$与等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长 $a$之间的数量关系．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径， $F$是 $\mathit{AD}$延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$，且 $\angle \mathit{DCF}=\angle \mathit{CAD}$．

（1）求证： $\mathit{CF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos B=\frac{3}{5}$， $\mathit{AD}=2$，求 $\mathit{FD}$的长．

(本题满分10分)
如图，点在的直径的延长线上，点在上，，，

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.

如图，在正方形网格图中建立直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：

(1) 请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2) 连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形ADC的圆心角度数；
(3) 若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径。

如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，°。以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD//BC。

（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写做法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：[（3）若AD=1cm，，求BC长。