初中数学直角三角形斜边上的中线解答题

小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $\angle \mathit{ACB}$ 与 $\angle \mathit{ECD}$ 恰好为对顶角， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{CDE}=90°$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$ ，点 $F$ 是线段 $\mathit{CE}$ 上一点．

探究发现：

（1）当点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点时，连接 $\mathit{DF}$ （如图（2） $)$ ，小明经过探究，得到结论： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ．你认为此结论是否成立？ 　 　．（填"是"或"否" $)$

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ，则点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求 $\mathit{AD}$ 的长．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，顶点 $A$， $B$都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $D$，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$，并延长 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，当 $\mathit{AB}=2\mathit{OA}$时，点 $E$恰为 $\mathit{AB}$的中点，若 $\angle \mathit{AOD}=45°$， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\angle \mathit{EOD}$的度数．

（1）如图1，已知 $\mathit{EK}$垂直平分 $\mathit{BC}$，垂足为 $D$， $\mathit{AB}$与 $\mathit{EK}$相交于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．求证： $\angle \mathit{AFE}=\angle \mathit{CFD}$．

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{GMN}$中， $\angle M=90°$， $P$为 $\mathit{MN}$的中点．

①用直尺和圆规在 $\mathit{GN}$边上求作点 $Q$，使得 $\angle \mathit{GQM}=\angle \mathit{PQN}$（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果 $\angle G=60°$，那么 $Q$是 $\mathit{GN}$的中点吗？为什么？

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是斜边 $\mathit{AB}$上的中线，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $M$、 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$．

（1）若 $\odot O$的半径为 $\frac{5}{2}$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BN}$的长；

（2）求证： $\mathit{NE}$与 $\odot O$相切．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{CD}$，过 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{DC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于 $F$．

（1）证明：四边形 $\mathit{CDEF}$是平行四边形；

（2）若四边形 $\mathit{CDEF}$的周长是 $25\mathit{cm}$， $\mathit{AC}$的长为 $5\mathit{cm}$，求线段 $\mathit{AB}$的长度．

如图①， $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta COD}$，延长 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{BE}$；

（2）将两个三角形绕点 $O$旋转，当 $\angle \mathit{AEC}=90°$时（如图② $)$，连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$．取 $\mathit{BC}$的中点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，则线段 $\mathit{EF}$、 $\mathit{AD}$的数量关系为　　，位置关系为　　；

（3）将图②中的线段 $\mathit{EB}$， $\mathit{ED}$同时绕点 $E$顺时针方向旋转到图③所示位置，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$，取 $\mathit{BC}$的中点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，请你判断（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$，点 $D$为 $\mathit{AB}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{BC}$的垂线，垂足为点 $F$，过点 $A$、 $C$、 $D$作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=9$，求 $\mathit{DE}$的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，点 $O$是 $\mathit{AC}$的中点，点 $P$是 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $A$， $O$， $C$重合）．过点 $A$，点 $C$作直线 $\mathit{BP}$的垂线，垂足分别为点 $E$和点 $F$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）如图1，请直接写出线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$的数量关系；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$时，请判断线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若 $|\mathit{CF}-\mathit{AE}|=2$， $\mathit{EF}=2\sqrt{3}$，当 $\mathit{\Delta POF}$为等腰三角形时，请直接写出线段 $\mathit{OP}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是边 $\mathit{BC}$上的中线， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$， $\mathit{CE}//\mathit{AD}$， $\mathit{CE}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$， $\mathit{BC}=8$， $\mathit{AD}=3$．

（1）求 $\mathit{CE}$的长；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形．

（3）求 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆圆心 $P$与内切圆圆心 $Q$之间的距离．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{CAB}=30°$，以线段 $\mathit{AB}$为边向外作等边 $\mathit{\Delta ABD}$，点 $E$是线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长交线段 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BCFD}$为平行四边形；

（2）若 $\mathit{AB}=6$，求平行四边形 $\mathit{BCFD}$的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$上的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长至点 $F$，使 $\mathit{EF}=2\mathit{DE}$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{AF}$．

（1）证明： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$；

（2）当 $\angle B=30°$时，试判断四边形 $\mathit{ACEF}$的形状并说明理由．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．

如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．

（1）如图①，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 上，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ， $\angle B=\angle C$ ．求证： $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ．

（2）如图②， $A$ 为 $\odot O$ 上一点，按以下步骤作图：

①连接 $\mathit{OA}$ ；

②以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AO}$ 长为半径作弧，交 $\odot O$ 于点 $B$ ；

③在射线 $\mathit{OB}$ 上截取 $\mathit{BC}=\mathit{OA}$ ；

④连接 $\mathit{AC}$ ．

若 $\mathit{AC}=3$ ，求 $\odot O$ 的半径．