（1）如图1，已知 垂直平分 ，垂足为 ， 与 相交于点 ，连接 ．求证： ．
（2）如图2，在 中， ， 为 的中点．
①用直尺和圆规在 边上求作点 ，使得 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果 ，那么 是 的中点吗？为什么？
综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点 ，连接 ，如果 ，那么 四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 重合），连接 ，则 （依据1）
∵
∴
∴点 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点 在点 所确定的 上（依据2）
∴点 四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；依据2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（2）如图3，在四边形 中， ，则 的度数为＿＿＿＿＿．
拓展探究：
（3）如图4，已知 是等腰三角形， ，点 在 上（不与 的中点重合），连接 ．作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ．
①求证： 四点共圆；
②若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
新定义：我们把抛物线 （其中 ）与抛物线 称为“关联抛物线”．例如：抛物线 的“关联抛物线”为： ．已知抛物线 的“关联抛物线”为 ．
（1）写出 的解析式（用含 的式子表示）及顶点坐标；
（2）若 ，过 轴上一点 ，作 轴的垂线分别交抛物线 ， 于点 ．
①当 时，求点 的坐标；
②当 时， 的最大值与最小值的差为 ，求 的值．
遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高 ，用 元购买A型设备的数量比用 元购买B型设备的数量多 台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共 台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为 元，求 与 的函数关系式，并求出最少购买费用．
如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2， 是灯杆， 是灯管支架，灯管支架 与灯杆间的夹角 ．综合实践小组的同学想知道灯管支架 的长度，他们在地面的点 处测得灯管支架底部 的仰角为 ，在点 处测得灯管支架顶部 的仰角为 ，测得 （ 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度 的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架 的长度（结果精确到 ，参考数据： ）．
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