初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，点 $D$是等边三角形 $\mathit{ABC}$外接圆上一点． $M$是 $\mathit{BD}$上一点，且满足 $\mathit{DM}=\mathit{DC}$，点 $E$是 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点．

（1）求证： $\mathit{CM}//\mathit{AD}$；

（2）如果 $\mathit{AD}=1$， $\mathit{CM}=2$．求线段 $\mathit{BD}$的长及 $\mathit{\Delta BCE}$的面积．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为2的正方形， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连结 $\mathit{DE}$，点 $F$是射线 $\mathit{BC}$上一动点（不与点 $B$重合），连结 $\mathit{AF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）如图1，当点 $F$是 $\mathit{BC}$边的中点时，求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta DAE}$；

（2）如图2，当点 $F$与点 $C$重合时，求 $\mathit{AG}$的长；

（3）在点 $F$运动的过程中，当线段 $\mathit{BF}$为何值时， $\mathit{AG}=\mathit{AE}$？请说明理由．

如图①， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=45°$， $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，点 $D$在 $\mathit{AH}$上，且 $\mathit{DH}=\mathit{CH}$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{AC}$；

（2）将 $\mathit{\Delta BHD}$绕点 $H$旋转，得到 $\mathit{\Delta EHF}$（点 $B$， $D$分别与点 $E$， $F$对应），连接 $\mathit{AE}$．

①如图②，当点 $F$落在 $\mathit{AC}$上时， $(F$不与 $C$重合），若 $\mathit{BC}=4$， $\tan C=3$，求 $\mathit{AE}$的长；

②如图③，当 $\mathit{\Delta EHF}$是由 $\mathit{\Delta BHD}$绕点 $H$逆时针旋转 $30°$得到时，设射线 $\mathit{CF}$与 $\mathit{AE}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{GH}$，试探究线段 $\mathit{GH}$与 $\mathit{EF}$之间满足的等量关系，并说明理由．

如图，线段 $\mathit{AB}=8$，射线 $\mathit{BG}\perp \mathit{AB}$， $P$为射线 $\mathit{BG}$上一点，以 $\mathit{AP}$为边作正方形 $\mathit{APCD}$，且点 $C$、 $D$与点 $B$在 $\mathit{AP}$两侧，在线段 $\mathit{DP}$上取一点 $E$，使 $\angle \mathit{EAP}=\angle \mathit{BAP}$，直线 $\mathit{CE}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $F$（点 $F$与点 $A$、 $B$不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEP}\cong \mathit{\Delta CEP}$；

（2）判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由；

（3）求 $\mathit{\Delta AEF}$的周长．

已知正方形ABCD中， $\mathit{BC}＝3$，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作 $\mathit{AH}\perp \mathit{ED}$于H点．

（1）求证： $△\mathit{ADF}≌△\mathit{ABE}$；

（2）若 $\mathit{BE}＝1$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{AED}$的值．

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且 $\mathit{BD}＝\mathit{CD}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点E， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点F．

（1）求证： $\mathit{AB}＝\mathit{AC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{DAC}＝30°$，求AC的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$， $\mathit{BH}\perp \mathit{AB}$于点 $B$，点 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{FM}$并延长交 $\mathit{BH}$于点 $H$．

（1）如图①所示，若 $\angle \mathit{ABC}=30°$，求证： $\mathit{DF}+\mathit{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathit{BD}$；

（2）如图②所示，若 $\angle \mathit{ABC}=45°$，如图③所示，若 $\angle \mathit{ABC}=60°$（点 $M$与点 $D$重合），猜想线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{BH}$与 $\mathit{BD}$之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线，线段 $\mathit{BC}$在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{PA}$，过点 $Q$作 $\mathit{QO}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $O$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OP}$．

（1）如图①所示，求证： $\mathit{AP}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；

（2）如图②所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的延长线上，如图③所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的反向延长线上，猜想线段 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OA}$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

（1）【操作发现】

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90°$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B\text{'}$ ，点 $C$ 的对应点为点 $C\text{'}$ ．连接 $\mathit{BB}\text{'}$ ；

②在①中所画图形中， $\angle \mathit{AB}\text{'}B=$ 　 　 $°$ ．

（2）【问题解决】

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{BC}=1$ ， $\angle C=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到 $D$ ，使 $\mathit{CD}=1$ ，将斜边 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 到 $\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的度数．

（3）【拓展延伸】

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $E$ ， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{ADC}$ ， $\mathit{BE}=\mathit{CE}=1$ ， $\mathit{CD}=3$ ， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k$ 为常数），求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ ， $G$ 是 $\mathit{BC}$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合）， $\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$ 于点 $E$ ， $\mathit{BF}//\mathit{DE}$ ，且交 $\mathit{AG}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}-\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ；

（2）四边形 $\mathit{BFDE}$ 是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点 $G$ 的位置，如不可能，请说明理由．

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α．

（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；

（2）如图2，在（1）的条件下，若α＝45°，求证：DE²＝BD²+CE²；

（3）如图3，若α＝45°，点E在BC的延长线上，则等式DE²＝BD²+CE²还能成立吗？请说明理由．

△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}＝\angle \mathit{EDF}＝90°$，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且 $\mathit{AP}＝\mathit{AQ}$时，求证： $△\mathit{BPE}≌△\mathit{CQE}$；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 $\mathit{BP}＝2$， $\mathit{CQ}＝9$时BC的长．

如图，在菱形 ABCD中， G是 BD上一点，连接 CG并延长交 BA的延长线于点 F，交 AD于点 E．

（1）求证： AG＝ CG．

（2）求证： AG ²＝ GE• GF．