初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$的坐标为 $(0,2)$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，连结 $\mathit{AB}$，以 $\mathit{AB}$为边在第一象限内作正方形 $\mathit{ABCD}$，直线 $\mathit{BD}$交双曲线 $y==\frac{k}{x}(k\ne 0)$于 $D$、 $E$两点，连结 $\mathit{CE}$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$和直线 $\mathit{DE}$的解析式．（2）求 $\mathit{\Delta DEC}$的面积．

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$拼在一起，使点 $A$与点 $F$重合，点 $C$与点 $D$重合（如图 $1)$，其中 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DFE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{EF}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=\mathit{DF}=4\mathit{cm}$，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $\mathit{DEF}$沿 $\mathit{AC}$方向平移，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$（如图 $2)$，当点 $F$与点 $C$重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $\mathit{DEF}$平移到某一位置时，小兵发现四边形 $\mathit{ABDE}$为矩形（如图 $3)$．求 $\mathit{AF}$的长．

活动二：在图3中，取 $\mathit{AD}$的中点 $O$，再将纸片 $\mathit{DEF}$绕点 $O$顺时针方向旋转 $\alpha$度 $(0⩽\alpha ⩽90)$，连结 $\mathit{OB}$， $\mathit{OE}$（如图 $4)$．

[探究]当 $\mathit{EF}$平分 $\angle \mathit{AEO}$时，探究 $\mathit{OF}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$中，作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$、 $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）若点 $E$恰好是 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{BD}$的值．

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且 $\mathit{BP}＝\mathit{CQ}$，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．

（1）求证： $\mathit{AP}\perp \mathit{BQ}$；

（2）若 $\mathit{AB}＝3$， $\mathit{BP}＝2\mathit{PC}$，求QM的长；

（3）当 $\mathit{BP}＝m$， $\mathit{PC}＝n$时，求AM的长．

如图， 在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别为 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$边上的点， $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$交于点 $O$，且 $\mathit{AE}=\mathit{DF}$．

（1） 求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DAF}$；

（2） 若 $\mathit{BO}=4$， $\mathit{OE}=2$，求正方形 $\mathit{ABCD}$的面积 ．

已知 $O$为直线 $\mathit{MN}$上一点， $\mathit{OP}\perp \mathit{MN}$，在等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$中， $\angle \mathit{BAO}=90°$， $\mathit{AC}//\mathit{OP}$交 $\mathit{OM}$于 $C$， $D$为 $\mathit{OB}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{MN}$于 $E$．

（1）如图1，若点 $B$在 $\mathit{OP}$上，则

① $\mathit{AC}$　 $\mathit{ }$　 $\mathit{OE}$（填“ $<$”，“ $=$”或“ $>$” $)$；

②线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式是　    　；

（2）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <45°)$，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$绕 $O$点顺时针旋转 $\alpha (45°<\alpha <90°)$，请你在图3中画出图形，并直接写出线段 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CO}$、 $\mathit{CD}$满足的等量关系式　   　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$， $\mathit{BH}\perp \mathit{AB}$于点 $B$，点 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{FM}$并延长交 $\mathit{BH}$于点 $H$．

（1）如图①所示，若 $\angle \mathit{ABC}=30°$，求证： $\mathit{DF}+\mathit{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathit{BD}$；

（2）如图②所示，若 $\angle \mathit{ABC}=45°$，如图③所示，若 $\angle \mathit{ABC}=60°$（点 $M$与点 $D$重合），猜想线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{BH}$与 $\mathit{BD}$之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线，线段 $\mathit{BC}$在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{PA}$，过点 $Q$作 $\mathit{QO}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $O$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OP}$．

（1）如图①所示，求证： $\mathit{AP}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；

（2）如图②所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的延长线上，如图③所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的反向延长线上，猜想线段 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OA}$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．

（1）求证：四边形EFGH是菱形；

（2）若EF＝4，∠HEF＝60°，求EG的长．

如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、F是AB边上两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，∠OFE＝ $\frac{1}{2}$∠A．过点F作FG⊥BC于点G，交⊙O于点H，连接EH．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接ED，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，△EQD和△EGH全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由；

（3）当BO＝5，BE＝4时，求△EHG的面积．

已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证 $\mathit{OE}＝\mathit{OF}$（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 $\angle \mathit{OFE}＝30°$时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $C$为 $\odot O$上一点，点 $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于 $E$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于 $F$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并证明你的结论；

（2）若 $\mathit{OF}=4$，求 $\mathit{AC}$的长度．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AF}=\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$，垂足为点 $E$

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{AB}$；

（2）以 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径作圆弧交 $\mathit{AF}$于点 $G$，若 $\mathit{BF}=\mathit{FC}=1$，求扇形 $\mathit{ABG}$的面积．（结果保留 $\pi )$