如图,在菱形 ABCD中, G是 BD上一点,连接 CG并延长交 BA的延长线于点 F,交 AD于点 E.
(1)求证: AG= CG.
(2)求证: AG 2= GE• GF.
如图,矩形 ABCD 中, AB = 4 ,点 E 是边 AD 的中点,点 F 是对角线 BD 上一动点, ∠ ADB = 30 ° .连结 EF ,作点 D 关于直线 EF 的对称点 P .
(1)若 EF ⊥ BD ,求 DF 的长;
(2)若 PE ⊥ BD ,求 DF 的长;
(3)直线 PE 交 BD 于点 Q ,若 ΔDEQ 是锐角三角形,求 DF 长的取值范围.
问题:如图,在 ▱ ABCD 中, AB = 8 , AD = 5 , ∠ DAB , ∠ ABC 的平分线 AE , BF 分别与直线 CD 交于点 E , F ,求 EF 的长.
答案: EF = 2 .
探究:(1)把"问题"中的条件" AB = 8 "去掉,其余条件不变.
①当点 E 与点 F 重合时,求 AB 的长;
②当点 E 与点 C 重合时,求 EF 的长.
(2)把"问题"中的条件" AB = 8 , AD = 5 "去掉,其余条件不变,当点 C , D , E , F 相邻两点间的距离相等时,求 AD AB 的值.
小聪设计奖杯,从抛物线形状上获得灵感,在平面直角坐标系中画出截面示意图,如图1,杯体 ACB 是抛物线的一部分,抛物线的顶点 C 在 y 轴上,杯口直径 AB = 4 ,且点 A , B 关于 y 轴对称,杯脚高 CO = 4 ,杯高 DO = 8 ,杯底 MN 在 x 轴上.
(1)求杯体 ACB 所在抛物线的函数表达式(不必写出 x 的取值范围);
(2)为使奖杯更加美观,小敏提出了改进方案,如图2,杯体 A ' CB ' 所在抛物线形状不变,杯口直径 A ' B ' / / AB ,杯脚高 CO 不变,杯深 CD ' 与杯高 OD ' 之比为0.6,求 A ' B ' 的长.
如图,在 ΔABC 中, ∠ A = 40 ° ,点 D , E 分别在边 AB , AC 上, BD = BC = CE ,连结 CD , BE .
(1)若 ∠ ABC = 80 ° ,求 ∠ BDC , ∠ ABE 的度数;
(2)写出 ∠ BEC 与 ∠ BDC 之间的关系,并说明理由.
拓展小组研制的智能操作机器人,如图1,水平操作台为 l ,底座 AB 固定,高 AB 为 50 cm ,连杆 BC 长度为 70 cm ,手臂 CD 长度为 60 cm .点 B , C 是转动点,且 AB , BC 与 CD 始终在同一平面内.
(1)转动连杆 BC ,手臂 CD ,使 ∠ ABC = 143 ° , CD / / l ,如图2,求手臂端点 D 离操作台 l 的高度 DE 的长(精确到 1 cm ,参考数据: sin 53 ° ≈ 0 . 8 , cos 53 ° ≈ 0 . 6 ) .
(2)物品在操作台 l 上,距离底座 A 端 110 cm 的点 M 处,转动连杆 BC ,手臂 CD ,手臂端点 D 能否碰到点 M ?请说明理由.