初中数学全等三角形的判定与性质解答题

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}=\mathit{AB}$；

（2）若 $\angle \mathit{FDC}=30°$，且 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{AD}$．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图，已知 $\angle 1=\angle 2$， $\angle 3=\angle 4$，求证： $\mathit{BC}=\mathit{BD}$．

边长为 $2\sqrt{2}$的正方形 $\mathit{ABCD}$中， $P$是对角线 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$与 $A$、 $C$不重合），连接 $\mathit{BP}$，将 $\mathit{BP}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$到 $\mathit{BQ}$，连接 $\mathit{QP}$， $\mathit{QP}$与 $\mathit{BC}$交于点 $E$， $\mathit{QP}$延长线与 $\mathit{AD}$（或 $\mathit{AD}$延长线）交于点 $F$．

（1）连接 $\mathit{CQ}$，证明： $\mathit{CQ}=\mathit{AP}$；

（2）设 $\mathit{AP}=x$， $\mathit{CE}=y$，试写出 $y$关于 $x$的函数关系式，并求当 $x$为何值时， $\mathit{CE}=\frac{3}{8}\mathit{BC}$；

（3）猜想 $\mathit{PF}$与 $\mathit{EQ}$的数量关系，并证明你的结论．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=4$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的周长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于 $E$，过 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$于 $F$．

求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$， $\mathit{BH}\perp \mathit{AB}$于点 $B$，点 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{FM}$并延长交 $\mathit{BH}$于点 $H$．

（1）如图①所示，若 $\angle \mathit{ABC}=30°$，求证： $\mathit{DF}+\mathit{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathit{BD}$；

（2）如图②所示，若 $\angle \mathit{ABC}=45°$，如图③所示，若 $\angle \mathit{ABC}=60°$（点 $M$与点 $D$重合），猜想线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{BH}$与 $\mathit{BD}$之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线，线段 $\mathit{BC}$在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{PA}$，过点 $Q$作 $\mathit{QO}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $O$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OP}$．

（1）如图①所示，求证： $\mathit{AP}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；

（2）如图②所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的延长线上，如图③所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的反向延长线上，猜想线段 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OA}$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$的中点， $F$是边 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{DF}$．求证： $\mathit{CE}=\mathit{DF}$．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $\mathit{EF}$过点 $O$且与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别交于点 $E$、 $F$．试猜想线段 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$的关系，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$的一条边 $\mathit{AD}=8$，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使得顶点 $B$落在 $\mathit{CD}$边上的 $P$点处

（Ⅰ）如图1，已知折痕与边 $\mathit{BC}$交于点 $O$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$、 $\mathit{OA}$．若 $\mathit{\Delta OCP}$与 $\mathit{\Delta PDA}$的面积比为 $1:4$，求边 $\mathit{CD}$的长．

（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 $\mathit{AO}$、线段 $\mathit{OP}$，连接 $\mathit{BP}$．动点 $M$在线段 $\mathit{AP}$上（点 $M$与点 $P$、 $A$不重合），动点 $N$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BN}=\mathit{PM}$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{PB}$于点 $F$，作 $\mathit{ME}\perp \mathit{BP}$于点 $E$．试问当动点 $M$、 $N$在移动的过程中，线段 $\mathit{EF}$的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段 $\mathit{EF}$的长度．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，各内角的平分线分别相交于点 $E$， $F$， $G$， $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABG}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）猜一猜：四边形 $\mathit{EFGH}$是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{DAB}=60°$，求四边形 $\mathit{EFGH}$的面积．