初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，在 $\angle \mathit{AOB}$的平分线 $\mathit{OM}$上有一点 $C$，将一个 $120°$角的顶点与点 $C$重合，它的两条边分别与直线 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$相交于点 $D$、 $E$．

（1）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$垂直时（如图 $1)$，请猜想 $\mathit{OE}+\mathit{OD}$与 $\mathit{OC}$的数量关系，并说明理由；

（2）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 $\mathit{OD}$、 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OC}$之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$， $0°<\angle \mathit{ACB}⩽90°$．点 $M$在边 $\mathit{AC}$上，点 $N$在边 $\mathit{BC}$上（点 $M$、点 $N$不与所在线段端点重合）， $\mathit{BN}=\mathit{AM}$，连接 $\mathit{AN}$， $\mathit{BM}$，射线 $\mathit{AG}//\mathit{BC}$，延长 $\mathit{BM}$交射线 $\mathit{AG}$于点 $D$，点 $E$在直线 $\mathit{AN}$上，且 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$．

（1）如图，当 $\angle \mathit{ACB}=90°$时

①求证： $\mathit{\Delta BCM}\cong \mathit{\Delta ACN}$；

②求 $\angle \mathit{BDE}$的度数；

（2）当 $\angle \mathit{ACB}=\alpha$，其它条件不变时， $\angle \mathit{BDE}$的度数是　　；（用含 $\alpha$的代数式表示）

（3）若 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{AB}=3\sqrt{3}$，点 $N$是 $\mathit{BC}$边上的三等分点，直线 $\mathit{ED}$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，请直接写出线段 $\mathit{CF}$的长．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

如图1，以 $▱\mathit{ABCD}$的较短边 $\mathit{CD}$为一边作菱形 $\mathit{CDEF}$，使点 $F$落在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{BE}$，交 $\mathit{AF}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{BG}$与 $\mathit{EG}$的数量关系，并说明理由；

（2）延长 $\mathit{DE}$、 $\mathit{BA}$交于点 $H$，其他条件不变：

①如图2，若 $\angle \mathit{ADC}=60°$，求 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值；

②如图3，若 $\angle \mathit{ADC}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，直接写出 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值（用含 $\alpha$的三角函数表示）

如图，已知 $\angle 1=\angle 2$， $\angle B=\angle D$，求证： $\mathit{CB}=\mathit{CD}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$， $E$是 $\mathit{OB}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长到点 $F$，使 $\mathit{EF}=\mathit{CE}$．连接 $\mathit{AF}$交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$， $\mathit{BH}\perp \mathit{AB}$于点 $B$，点 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{FM}$并延长交 $\mathit{BH}$于点 $H$．

（1）如图①所示，若 $\angle \mathit{ABC}=30°$，求证： $\mathit{DF}+\mathit{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathit{BD}$；

（2）如图②所示，若 $\angle \mathit{ABC}=45°$，如图③所示，若 $\angle \mathit{ABC}=60°$（点 $M$与点 $D$重合），猜想线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{BH}$与 $\mathit{BD}$之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线，线段 $\mathit{BC}$在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{PA}$，过点 $Q$作 $\mathit{QO}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $O$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OP}$．

（1）如图①所示，求证： $\mathit{AP}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；

（2）如图②所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的延长线上，如图③所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的反向延长线上，猜想线段 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OA}$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $M$是 $\mathit{BC}$边上一点（不含端点 $B$， $C)$， $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{ACH}$的平分线上一点，且 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$．求证： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

点拨：如图②，作 $\angle \mathit{CBE}=60°$， $\mathit{BE}$与 $\mathit{NC}$的延长线相交于点 $E$，得等边 $\mathit{\Delta BEC}$，连接 $\mathit{EM}$．易证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta EBM}\left(\mathit{SAS}\right)$，可得 $\mathit{AM}=\mathit{EM}$， $\angle 1=\angle 2$；又 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$，则 $\mathit{EM}=\mathit{MN}$，可得 $\angle 3=\angle 4$；由 $\angle 3+\angle 1=\angle 4+\angle 5=60°$，进一步可得 $\angle 1=\angle 2=\angle 5$，又因为 $\angle 2+\angle 6=120°$，所以 $\angle 5+\angle 6=120°$，即： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

问题：如图③，在正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M_1$是 $B_1{C}_1$边上一点（不含端点 $B_1$， $C_1)$， $N_1$是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的外角 $\angle D_1{C}_1{H}_1$的平分线上一点，且 $A_1{M}_1=M_1{N}_1$．求证： $\angle A_1{M}_1{N}_1=90°$．

矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{CE}$、 $\mathit{AF}$分别交 $\mathit{BD}$于 $G$、 $H$两点．

求证：（1）四边形 $\mathit{AFCE}$是平行四边形；

（2） $\mathit{EG}=\mathit{FH}$．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$，点 $D$， $E$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$．

如图，已知 $\odot O$是等边三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆，点 $D$在圆上，在 $\mathit{CD}$的延长线上有一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DA}$， $\mathit{AE}//\mathit{BC}$交 $\mathit{CF}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{EA}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CF}$．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AF}=\mathit{BE}$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DAF}\cong \mathit{\Delta ABE}$；

（2）求 $\angle \mathit{AOD}$的度数．