如图,在 中, , , 为 的中点,点 在 上,以点 为中心,将线段 顺时针旋转 得到线段 ,连接 , .
(1)比较 与 的大小;用等式表示线段 , , 之间的数量关系,并证明;
(2)过点 作 的垂线,交 于点 ,用等式表示线段 与 的数量关系,并证明.
在平面直角坐标系 中,对于 、 两点,若在 轴上存在点 ,使得 ,且 ,则称 、 两点互相关联,把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点 、 ,点 在一次函数 的图象上.
(1)①如图,在点 、 、 中,点 的关联点是 (填" "、" "或" " ;
②若在线段 上存在点 的关联点 ,则点 的坐标是 ;
(2)若在线段 上存在点 的关联点 ,求实数 的取值范围;
(3)分别以点 、 为圆心,1为半径作 、 .若对 上的任意一点 ,在 上总存在点 ,使得 、 两点互相关联,请写出点 的坐标.
如图,直角 中, 为直角, , .点 , , 分别在 , , 边上同时开始作匀速运动,2秒后三个点同时停止运动,点 由点 出发以每秒3个单位的速度向点 运动,点 由点 出发以每秒5个单位的速度向点 运动,点 由点 出发以每秒4个单位的速度向点 运动,在运动过程中:
(1)求证: , , 的面积相等;
(2)求 面积的最小值;
(3)用 (秒 表示运动时间,是否存在 ,使 ?若存在,请直接写出 的值;若不存在,请说明理由.
如图,在 中, , , , 是 上一点(点 与点 不重合).若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点 、 成为直角三角形的三个顶点,则 长的取值范围是 .
如图,正方形 内接于 ,线段 在对角线 上运动,若 的面积为 , ,则 周长的最小值是
A. |
3 |
B. |
4 |
C. |
5 |
D. |
6 |
如图,在边长为 的正六边形 中,连接 , ,其中点 , 分别为 和 上的动点.若以 , , 为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为 .
如图,在正六边形 中,连接对角线 , , , , , 与 交于点 , 与 交于点为 , 与 交于点 ,分别延长 , 于点 ,设 .有以下结论:
①
②
③ 的重心、内心及外心均是点
④四边形 绕点 逆时针旋转 与四边形 重合
则所有正确结论的序号是 .
已知,在 中, , , , 是 边上的一个动点,将 沿 所在直线折叠,使点 落在点 处.
(1)如图1,若点 是 中点,连接 .
①写出 , 的长;
②求证:四边形 是平行四边形.
(2)如图2,若 ,过点 作 交 的延长线于点 ,求 的长.
已知: 是等腰直角三角形, ,将 绕点 顺时针方向旋转得到△ ,记旋转角为 ,当 时,作 ,垂足为 , 与 交于点 .
(1)如图1,当 时,作 的平分线 交 于点 .
①写出旋转角 的度数;
②求证: ;
(2)如图2,在(1)的条件下,设 是直线 上的一个动点,连接 , ,若 ,求线段 的最小值.(结果保留根号)
问题解决:如图1,在矩形 中,点 , 分别在 , 边上, , 于点 .
(1)求证:四边形 是正方形;
(2)延长 到点 ,使得 ,判断 的形状,并说明理由.
类比迁移:如图2,在菱形 中,点 , 分别在 , 边上, 与 相交于点 , , , , ,求 的长.
如图,在 中, , , ,点 是平面内一个动点,且 , 为 的中点,在 点运动过程中,设线段 的长度为 ,则 的取值范围是 .
如图,在正方形 外取一点 ,连接 , , ,过点 作 的垂线交 于点 ,若 , .下列结论:① ;② ;③点 到直线 的距离为 ;④ ,其中正确结论的序号为 .
如图①,在 中, , , 是斜边 上的中线,点 为射线 上一点,将 沿 折叠,点 的对应点为点 .
(1)若 .直接写出 的长(用含 的代数式表示);
(2)若 ,垂足为 ,点 与点 在直线 的异侧,连接 ,如②,判断四边形 的形状,并说明理由;
(3)若 ,直接写出 的度数.
如图,将 绕点 逆时针旋转到 的位置,使点 落在 上, 与 交于点 .若 , , ,则 的长为 .