如图，直角ΔABC中，∠A为直角，AB6，AC8．点P，Q，

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，直角 $ΔABC$ 中， $∠ A$ 为直角， $AB = 6$ ， $AC = 8$ ．点 $P$ ， $Q$ ， $R$ 分别在 $AB$ ， $BC$ ， $CA$ 边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点 $P$ 由点 $A$ 出发以每秒3个单位的速度向点 $B$ 运动，点 $Q$ 由点 $B$ 出发以每秒5个单位的速度向点 $C$ 运动，点 $R$ 由点 $C$ 出发以每秒4个单位的速度向点 $A$ 运动，在运动过程中：

（1）求证： $ΔAPR$ ， $ΔBPQ$ ， $ΔCQR$ 的面积相等；

（2）求 $ΔPQR$ 面积的最小值；

（3）用 $t$ （秒 $) (0 ⩽ t ⩽ 2)$ 表示运动时间，是否存在 $t$ ，使 $∠ PQR = 90 °$ ？若存在，请直接写出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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如今我国的大棚（如图 $1)$ 种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 $A$ 处，另一端固定在离地面高2米的墙体 $B$ 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 $y$ （米 $)$ 与其离墙体 $A$ 的水平距离 $x$ （米 $)$ 之间的关系满足 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + bx + c$ ，现测得 $A$ ， $B$ 两墙体之间的水平距离为6米．

（1）直接写出 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 $\frac{37}{24}$ 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

题型：未知
难度：未知

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如图， $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ DE$ 交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $AB = BC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 为9， $\sin A = \frac{1}{3}$ ．

①求线段 $BF$ 的长；

②求线段 $BE$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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如图，一次函数 $y_{1} = kx + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象交于点 $C (1, 2)$ ， $D (2, n)$ ．

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接 $OD$ ，求 $ΔBOD$ 的面积．

题型：未知
难度：未知

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疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

	已接种	未接种	合计
七年级	30	10	40
八年级	35	15	$a$
九年级	40	$b$	60
合计	105	$c$	150

（1）表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是　　年级教师；（填“七”或“八”或“九” $)$

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有　　人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

题型：未知
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如图，在菱形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）证明四边形 $BEDF$ 是菱形．

题型：未知
难度：未知

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