初中数学三角形试题

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；

（2）①如图1， $P$是边长为 $a$的正 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，点 $O$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，设点 $P$到 $\mathit{\Delta ABC}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$，由等面积法，易知 $\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=S_{\mathit{\Delta ABC}}=3S_{\mathit{\Delta OAB}}$，可得 $h_1+h_2+h_3=$　　；（结果用含 $a$的式子表示）

②如图2， $P$是边长为 $a$的正五边形 $\mathit{ABCDE}$内任意一点，设点 $P$到五边形 $\mathit{ABCDE}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$， $h_4$， $h_5$，参照①的探索过程，试用含 $a$的式子表示 $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5$的值．（参考数据： $\tan 36°\approx \frac{8}{11}$， $\tan 54°\approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $\odot O$的半径为2，点 $A$为 $\odot O$外一点， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{AB}$切 $\odot O$于点 $B$，弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$，连接 $\mathit{AC}$，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留 $\pi )$

②如图4，现有六边形花坛 $\mathit{ABCDEF}$，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $\mathit{ABCDG}$，其中点 $G$在 $\mathit{AF}$的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$的位置，并说明理由.

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$， $D$是边 $\mathit{BC}$上一点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{AD}$折叠得到 $\mathit{\Delta AED}$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）特例发现

如图1，当 $m=1$， $\mathit{AE}$落在直线 $\mathit{AC}$上时．

①求证： $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{EBC}$；

②填空： $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{CE}}$的值为 　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m\ne 1$， $\mathit{AE}$与边 $\mathit{BC}$相交时，在 $\mathit{AD}$上取一点 $G$，使 $\angle \mathit{ACG}=\angle \mathit{BCE}$， $\mathit{CG}$交 $\mathit{AE}$于点 $H$．探究 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{CE}}$的值（用含 $m$的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点时，若 $\mathit{EB}\cdot \mathit{EH}=6$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=12$ ， $D$ 为 $\mathit{AC}$ 边上的一个动点，连接 $\mathit{BD}$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CE}$ ，当 $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BCE}$ 时，线段 $\mathit{AE}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图，在边长为6的等边 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$交于点 $P$，连接 $\mathit{CP}$，则 $\mathit{CP}$的最小值为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=8$，将此矩形折叠，使点 $C$与点 $A$重合，点 $D$落在点 $D\text{'}$处，折痕为 $\mathit{EF}$，则 $\mathit{AD}\text{'}$的长为 　　， $\mathit{DD}\text{'}$的长为 　　．

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程 $x^2-5x+2=0$，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 $A(0,1)$， $B(5,2)$；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 $A$，另一条直角边恒过点 $B$；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 $x$轴上点 $C$处时，点 $C$的横坐标 $m$即为该方程的一个实数根（如图 $1)$；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 $x$轴上另一点 $D$处时，点 $D$的横坐标 $n$即为该方程的另一个实数根．

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点 $D$（请保留作出点 $D$时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的 $m$就是方程 $x^2-5x+2=0$的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0,b^2-4\mathit{ac}⩾0)$的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 $m_1$， $n_1$， $m_2$， $n_2$与 $a$， $b$， $c$之间满足怎样的关系时，点 $P(m_1$， $n_1)$， $Q(m_2$， $n_2)$就是符合要求的一对固定点？

如图，将 $▱\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $▱A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ 的位置，使点 $B\text{'}$ 落在 $\mathit{BC}$ 上， $B\text{'}C\text{'}$ 与 $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ．若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $\mathit{BB}\text{'}=1$ ，则 $\mathit{CE}$ 的长为 　　．

将抛物线 $C:y={(x-2)}^2$ 向下平移6个单位长度得到抛物线 $C_1$ ，再将抛物线 $C_1$ 向左平移2个单位长度得到抛物线 $C_2$ ．

（1）直接写出抛物线 $C_1$ ， $C_2$ 的解析式；

（2）如图（1），点 $A$ 在抛物线 $C_1$ （对称轴 $l$ 右侧）上，点 $B$ 在对称轴 $l$ 上， $\mathit{\Delta OAB}$ 是以 $\mathit{OB}$ 为斜边的等腰直角三角形，求点 $A$ 的坐标；

（3）如图（2），直线 $y=\mathit{kx}(k\ne 0$ ， $k$ 为常数）与抛物线 $C_2$ 交于 $E$ ， $F$ 两点， $M$ 为线段 $\mathit{EF}$ 的中点；直线 $y=-\frac{4}{k}x$ 与抛物线 $C_2$ 交于 $G$ ， $H$ 两点， $N$ 为线段 $\mathit{GH}$ 的中点．求证：直线 $\mathit{MN}$ 经过一个定点．

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．

在直角坐标系中，过原点 $O$及点 $A(8,0)$， $C(0,6)$作矩形 $\mathit{OABC}$、连接 $\mathit{OB}$，点 $D$为 $\mathit{OB}$的中点，点 $E$是线段 $\mathit{AB}$上的动点，连接 $\mathit{DE}$，作 $\mathit{DF}\perp \mathit{DE}$，交 $\mathit{OA}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．已知点 $E$从 $A$点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 $\mathit{AB}$上移动，设移动时间为 $t$秒．

（1）如图1，当 $t=3$时，求 $\mathit{DF}$的长．

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上移动的过程中， $\angle \mathit{DEF}$的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $\tan \angle \mathit{DEF}$的值．

（3）连接 $\mathit{AD}$，当 $\mathit{AD}$将 $\mathit{\Delta DEF}$分成的两部分的面积之比为 $1:2$时，求相应的 $t$的值．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$上一点，且点 $E$不与点 $B$、 $C$重合，点 $F$是 $\mathit{BA}$的延长线上一点，且 $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCE}\cong \mathit{\Delta DAF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{EF}$，交 $\mathit{AD}$于点 $K$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{EF}$，垂足为 $H$，延长 $\mathit{DH}$交 $\mathit{BF}$于点 $G$，连接 $\mathit{HB}$， $\mathit{HC}$．

①求证： $\mathit{HD}=\mathit{HB}$；

②若 $\mathit{DK}\cdot \mathit{HC}=\sqrt{2}$，求 $\mathit{HE}$的长．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACD}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $\mathit{AB}$上截取 $\mathit{AF}=\mathit{DE}$，连接 $\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{CE}$， $\mathit{CA}$于点 $G$， $H$，点 $P$是线段 $\mathit{GC}$上的动点， $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PH}$．下列结论：① $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$；② $\mathit{DE}+\mathit{DC}=\mathit{AC}$；③ $\mathit{EA}=\sqrt{3}\mathit{AH}$；④ $\mathit{PH}+\mathit{PQ}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中正确结论的序号是 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $O$为 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{OD}$平分 $\angle \mathit{AOC}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{OD}=\mathit{OA}$， $\mathit{BD}$分别与 $\mathit{AC}$， $\mathit{OC}$交于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$，则 $\frac{\mathit{OG}}{\mathit{BC}}$的值为 　　；若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，则 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{OF}}$的值为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．

如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形 $\mathit{ABCD}$ ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 $S_1$ ，另两张直角三角形纸片的面积都为 $S_2$ ，中间一张矩形纸片 $\mathit{EFGH}$ 的面积为 $S_3$ ， $\mathit{FH}$ 与 $\mathit{GE}$ 相交于点 $O$ ．当 $\mathit{\Delta AEO}$ ， $\mathit{\Delta BFO}$ ， $\mathit{\Delta CGO}$ ， $\mathit{\Delta DHO}$ 的面积相等时，下列结论一定成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$S_1=S_2$

B．

$S_1=S_3$

C．

$\mathit{AB}=\mathit{AD}$

D．

$\mathit{EH}=\mathit{GH}$