初中数学三角形解答题

（1）发现：如图1，点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=a$ ， $\mathit{AB}=b$ ．

填空：当点 $A$ 位于 　　时，线段 $\mathit{AC}$ 的长取得最大值，且最大值为 　　（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

（2）应用：点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{AB}=1$ ，如图2所示，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为边，作等边三角形 $\mathit{ABD}$ 和等边三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①请找出图中与 $\mathit{BE}$ 相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段 $\mathit{BE}$ 长的最大值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5,0)$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{AB}$ 外一动点，且 $\mathit{PA}=2$ ， $\mathit{PM}=\mathit{PB}$ ， $\angle \mathit{BPM}=90°$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 长的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，点 $M$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，以 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ 分别交 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BM}$ 于点 $D$ ， $E$ ．

（1）求证： $\mathit{MD}=\mathit{ME}$ ；

（2）填空：

①若 $\mathit{AB}=6$ ，当 $\mathit{AD}=2\mathit{DM}$ 时， $\mathit{DE}=$ 　 　；

②连接 $\mathit{OD}$ ， $\mathit{OE}$ ，当 $\angle A$ 的度数为 　 　时，四边形 $\mathit{ODME}$ 是菱形．

问题发现

（1）如图（1），四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，则线段 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 的位置关系为 　 　；

拓展探究

（2）如图（2），在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $F$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 的中点，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为底边，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 外部作等腰三角形 $\mathit{ABD}$ 和等腰三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{FD}$ ， $\mathit{FE}$ ，分别交 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ， $N$ ，试猜想四边形 $\mathit{FMAN}$ 的形状，并说明理由；

解决问题

（3）如图（3），在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为旋转中心将正方形 $\mathit{ABCD}$ 旋转 $60°$ ，得到正方形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，请直接写出 $\mathit{BD}\text{'}$ 的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于圆 $O$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $D$ ，使 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AD}$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）填空：

①当 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数为 　　时，四边形 $\mathit{AOCE}$ 是菱形．

②若 $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长为 　　．

（1）探索发现

如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．

（2）阅读解析

小东遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．

填空：①图2中的一对全等三角形为　 　；

②、、三条线段之间的数量关系为　　．

（3）类比探究

如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．

①判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若，的面积为2，直接写出四边形的面积．

如图，在中，，点为的中点，延长到点，使，交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求弦的长．

如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接．动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为．

（1）　　，　　；

（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）当时，直接写出的值．

性质探究

如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形中，．

①求证：；

②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含的式子表示）．

图①，图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段，在图②中已画出线段，其中、、、均为格点，按下列要求画图：

（1）在图①中，以为对角线画一个菱形，且，为格点；

（2）在图②中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且，为格点，．

如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：．

如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动．当点不与点、重合时，过点作于点，连结，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．

（1）①的长为　　；

②的长用含的代数式表示为　　．

（2）当为矩形时，求的值；

（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；

（4）当过点且平行于的直线经过一边中点时，直接写出的值．

教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．

例2 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：

证明：连结．

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点．

（1）如图②，若为正方形，且，则的长为　　．

（2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为　　．

图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．

（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．

（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．

如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求劣弧的长．（结果保留

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点为，直线与轴相交于点．

（1）当时，抛物线顶点的坐标为　　，　　；

（2）的长是否与值有关，说明你的理由；

（3）设，，求的取值范围；

（4）以为斜边，在直线的左下方作等腰直角三角形．设，直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．