初中数学三角形解答题

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $E$在 $\mathit{AC}$上（且不与点 $A$， $C$重合），在 $\mathit{\Delta ABC}$的外部作 $\mathit{\Delta CED}$，使 $\angle \mathit{CED}=90°$， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{AD}$，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$为邻边作平行四边形 $\mathit{ABFD}$，连接 $\mathit{AF}$．

（1）请直接写出线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{AE}$的数量关系　　；

（2）将 $\mathit{\Delta CED}$绕点 $C$逆时针旋转，当点 $E$在线段 $\mathit{BC}$上时，如图②，连接 $\mathit{AE}$，请判断线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{AE}$的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将 $\mathit{\Delta CED}$绕点 $C$继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别交线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $F$，线段 $\mathit{FD}$， $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CF}=1$， $\mathit{DF}=\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCE}$；

（2）如图2，延长 $\mathit{BE}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{FG}=\mathit{FB}$．

①求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{FG}$；

②已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，若点 $E$在对角线 $\mathit{AC}$上移动，当 $\mathit{\Delta BFG}$为等边三角形时，求线段 $\mathit{DE}$的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}>\mathit{AC}$，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{DE}$， $\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{ADE}=180°$，作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$．

（1）如图 $a$，当 $\angle \mathit{ACB}=90°$时，连接 $\mathit{CD}$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{CD}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$．

①求证： $\mathit{FA}=\mathit{DE}$；

②请猜想三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图 $b$，当 $\angle \mathit{ACB}=120°$时，三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

如图， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAE}$，且交 $\mathit{BF}$于点 $C$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABF}$，且交 $\mathit{AE}$于点 $D$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，连接 $\mathit{CD}$

（1）求 $\angle \mathit{AOD}$的度数；

（2）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

如图①， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta CDE}$是等腰直角三角形，直角边 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CD}$在同一条直线上，点 $M$、 $N$分别是斜边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DE}$的中点，点 $P$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$．

（1）猜想 $\mathit{PM}$与 $\mathit{PN}$的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的 $\mathit{\Delta CDE}$绕着点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到图②， $\mathit{AE}$与 $\mathit{MP}$、 $\mathit{BD}$分别交于点 $G$、 $H$．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 $\mathit{BC}=\mathit{kAC}$， $\mathit{CD}=\mathit{kCE}$，如图③，写出 $\mathit{PM}$与 $\mathit{PN}$的数量关系，并加以证明．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AE}$．

小明经探究发现，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，得到 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{BEA}$，从而可证 $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BAE}$（如图 $2)$，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $\mathit{\Delta ABF}$与 $\mathit{\Delta BAE}$全等的条件是　　（填“ $\mathit{SSS}$”、“ $\mathit{SAS}$”、“ $\mathit{ASA}$”、“ $\mathit{AAS}$”或“ $\mathit{HL}$”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $E$为 $\mathit{DC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{EAC}$，若 $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{AB}$的长；

（3）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$边上，且 $\mathit{AD}=\mathit{kDB}$（其中 $0<k<\frac{\sqrt{3}}{3})$， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{BCD}$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$的值（用含 $k$的式子表示）．

如图， $\mathit{BD}$是 $▱\mathit{ABCD}$的对角线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$、 $F$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： $\mathit{\Delta ABC}$内总存在一点 $P$与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点 $P$为等边 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，将 $\mathit{\Delta ACP}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta ADE}$，从而有 $\mathit{DE}=\mathit{PC}$，连接 $\mathit{PD}$得到 $\mathit{PD}=\mathit{PA}$，同时 $\angle \mathit{APB}+\angle \mathit{APD}=120°+60°=180°$， $\angle \mathit{ADP}+\angle \mathit{ADE}=180°$，即 $B$、 $P$、 $D$、 $E$四点共线，故 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}=\mathit{PD}+\mathit{PB}+\mathit{DE}=\mathit{BE}$．在 $\mathit{\Delta ABC}$中，另取一点 $P\text{'}$，易知点 $P\text{'}$与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 $B$、 $P\text{'}$、 $D\text{'}$、 $E$四点不共线，所以 $P\text{'}A+P\text{'}B+P\text{'}C>\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$，即点 $P$到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{BPC}=120°$，证明 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值最小；

【拓展】（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=8$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，且点 $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，求点 $P$到三个顶点的距离之和的最小值．

已知， $\mathit{\Delta ABC}$为直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $P$是射线 $\mathit{CB}$上一点（点 $P$不与点 $B$、 $C$重合），线段 $\mathit{AP}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{AQ}$，连接 $\mathit{QB}$交射线 $\mathit{AC}$于点 $M$．

（1）如图①，当 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$上时，线段 $\mathit{PB}$、 $\mathit{CM}$的数量关系是　　；

（2）如图②，当 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图③，若 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=\frac{5}{2}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上， $\mathit{CM}=2$， $\mathit{AP}=13$，求 $\mathit{\Delta ABP}$的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $\mathit{ED}$交线段 $\mathit{AC}$于点 $F$，点 $O$在线段 $\mathit{EF}$上， $\odot O$经过 $C$、 $E$两点，交 $\mathit{ED}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle E=30°$， $\mathit{AD}=1$， $\mathit{BD}=5$，求 $\odot O$的半径．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{EF}$过点 $O$且与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别相交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EC}$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{\Delta BEC}$的周长是10，求 $▱\mathit{ABCD}$的周长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $F$从点 $B$向点 $C$运动，点 $E$从点 $A$沿射线 $\mathit{CA}$方向运动，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $D$．

（1）如图1，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$时，求证： $\mathit{AB}=2\mathit{AD}+\mathit{BF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=\frac{2}{3}\mathit{BC}$时，① $\mathit{AD}=6$， $\mathit{BF}=\frac{15}{2}$，则 $\mathit{AB}=$　　；

②过点 $F$作 $\mathit{FP}\perp \mathit{AB}$于点 $P$，探究线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{FP}$之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}$为钝角， $\angle B=45°$，点 $P$是边 $\mathit{BC}$延长线上一点，以点 $C$为顶点， $\mathit{CP}$为边，在射线 $\mathit{BP}$下方作 $\angle \mathit{PCF}=\angle B$．

（1）在射线 $\mathit{CF}$上取点 $E$，连接 $\mathit{AE}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $D$．

①如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$，请直接写出线段 $A$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系；

②如图2，若 $\mathit{AD}=\sqrt{2}\mathit{DE}$，判断线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图3，反向延长射线 $\mathit{CF}$，交射线 $\mathit{BA}$于点 $C\text{'}$，将 $\angle \mathit{PCF}$沿 $\mathit{CC}\text{'}$方向平移，使顶点 $C$落在点 $C\text{'}$处，记平移后的 $\angle \mathit{PCF}$为 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$，将 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$绕点 $C\text{'}$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\alpha <45°)$， $C\text{'}F\text{'}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $M$， $C\text{'}P\text{'}$交射线 $\mathit{BP}$于点 $N$，请直接写出线段 $\mathit{BM}$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CN}$之间的数量关系．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为4的正方形，点 $E$在边 $\mathit{AD}$所在直线上，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为边，作正方形 $\mathit{CEFG}$（点 $D$，点 $F$在直线 $\mathit{CE}$的同侧），连接 $\mathit{BF}$．

（1）如图1，当点 $E$与点 $A$重合时，请直接写出 $\mathit{BF}$的长；

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AD}$上时， $\mathit{AE}=1$；

①求点 $F$到 $\mathit{AD}$的距离；

②求 $\mathit{BF}$的长；

（3）若 $\mathit{BF}=3\sqrt{10}$，请直接写出此时 $\mathit{AE}$的长．