初中数学三角形解答题

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点， 将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$按顺时针方向旋转一个角度 $\alpha (0°<\alpha <90°)$得到△ $A{D}^{\text{'}}E\text{'}$，连接 $\mathit{BD}\text{'}$、 $\mathit{CE}\text{'}$，如图 1 ．

（1） 求证： $\mathit{BD}\text{'}=C{E}^{\text{'}}$；

（2） 如图 2 ，当 $\alpha =60°$时， 设 $\mathit{AB}$与 $D\text{'}E\text{'}$交于点 $F$，求 $\frac{\mathit{BF}}{\mathit{FA}}$的值 ．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，以 $\mathit{CA}$为边在 $\angle \mathit{ACB}$的另一侧作 $\angle \mathit{ACM}=\angle \mathit{ACB}$，点 $D$为射线 $\mathit{BC}$上任意一点，在射线 $\mathit{CM}$上截取 $\mathit{CE}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{DE}$、 $\mathit{AE}$．

（1）如图1，当点 $D$落在线段 $\mathit{BC}$的延长线上时，直接写出 $\angle \mathit{ADE}$的度数；

（2）如图2，当点 $D$落在线段 $\mathit{BC}$（不含边界）上时， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $F$，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AB}=6$，求 $\mathit{CF}$的最大值．

如图，直线 $y=\mathit{ax}+2$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,b)$．将线段 $\mathit{AB}$先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t(t>0)$个单位长度，得到对应线段 $\mathit{CD}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象恰好经过 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求 $a$和 $b$的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $\mathit{ABDC}$的面积；

（3）点 $N$在 $x$轴正半轴上，点 $M$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上的一个点，若 $\mathit{\Delta CMN}$是以 $\mathit{CM}$为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$的坐标．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，连接 $\mathit{BD}$， $E$是 $\mathit{DA}$延长线上的点， $F$是 $\mathit{BC}$延长线上的点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BD}$于点 $O$．求证： $\mathit{OB}=\mathit{OD}$．

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\mathit{CE}=\mathit{BF}$．请写出 $\mathit{DF}$与 $\mathit{AE}$的数量关系，并证明你的结论．

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$在线段 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{BAO}=30°$， $\angle \mathit{OAC}=75°$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\mathit{BO}:\mathit{CO}=1:3$，求 $\mathit{AB}$的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$作 $\mathit{BD}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$，通过构造 $\mathit{\Delta ABD}$就可以解决问题（如图 $2)$．

请回答： $\angle \mathit{ADB}=$　　 $°$， $\mathit{AB}=$　　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=75°$， $\mathit{BO}:\mathit{OD}=1:3$，求 $\mathit{DC}$的长．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$为 $\mathit{BC}$的中点．

（1）如图①，若点 $E$、 $F$分别为 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上的点，且 $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{AF}$；

（2）若点 $E$、 $F$分别为 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CA}$延长线上的点，且 $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$，那么 $\mathit{BE}=\mathit{AF}$吗？请利用图②说明理由．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，顶点 $B$恰好与 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$重合（点 $P$不与点 $C$， $D$重合），折痕为 $\mathit{MN}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{MP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{MN}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BFN}\backsim \mathit{\Delta BCP}$；

（2）①在图2中，作出经过 $M$， $D$， $P$三点的 $\odot O$（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $\mathit{AB}=4$，随着点 $P$在 $\mathit{CD}$上的运动，若①中的 $\odot O$恰好与 $\mathit{BM}$， $\mathit{BC}$同时相切，求此时 $\mathit{DP}$的长．

如图，在直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=1$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象经过 $\mathit{BC}$边的中点 $D(3,1)$．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta EFG}$成中心对称，且 $\mathit{\Delta EFG}$的边 $\mathit{FG}$在 $y$轴的正半轴上，点 $E$在这个函数的图象上．

①求 $\mathit{OF}$的长；

②连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$，证明四边形 $\mathit{ABEF}$是正方形．

已知：如图， $E$， $F$为 $▱\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{AC}$上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$， $P$为射线 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{BP}$为边作正方形 $\mathit{BPEF}$，使点 $F$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{EC}$．

（1）如图1，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，求证： $\mathit{EA}=\mathit{EC}$；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{AC}$，判断 $\mathit{\Delta ACE}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{AC}$，当 $\mathit{EP}$平分 $\angle \mathit{AEC}$时，设 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{BP}=b$，求 $a:b$及 $\angle \mathit{AEC}$的度数．

【操作发现】

（1）如图1， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，先将三角板中的 $60°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $30°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板斜边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=30°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．

①求 $\angle \mathit{EAF}$的度数；

② $\mathit{DE}$与 $\mathit{EF}$相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，先将三角板的 $90°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $45°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板另一直角边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=45°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．请直接写出探究结果：

① $\angle \mathit{EAF}$的度数；

②线段 $\mathit{AE}$， $\mathit{ED}$， $\mathit{DB}$之间的数量关系．

已知： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=2$，弦 $\mathit{DE}=1$，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $C$，弦 $\mathit{DE}$在 $\odot O$上运动且保持长度不变， $\odot O$的切线 $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求证： $\mathit{CF}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当点 $E$运动至与点 $B$重合时，试判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{BF}$是否相等，并说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $F$是 $\mathit{AC}$延长线上一点．

（1）若 $\mathit{ED}\perp \mathit{EF}$，求证： $\mathit{ED}=\mathit{EF}$；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{DC}$的延长线与 $\mathit{FB}$交于点 $P$，试判定四边形 $\mathit{ACPE}$是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$， $\mathit{ED}$与 $\mathit{EF}$垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．