如图，在ΔABC中，ACBC，点F从点B向点C运动，点E从点

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ，点 $F$ 从点 $B$ 向点 $C$ 运动，点 $E$ 从点 $A$ 沿射线 $CA$ 方向运动，且 $BF = AE$ ，连接 $EF$ 交 $AB$ 于 $D$ ．

（1）如图1，当 $AB = BC$ 时，求证： $AB = 2 AD + BF$ ；

（2）如图2，当 $AB = \frac{2}{3} BC$ 时，① $AD = 6$ ， $BF = \frac{15}{2}$ ，则 $AB =$ 　　；

②过点 $F$ 作 $FP ⊥ AB$ 于点 $P$ ，探究线段 $AB$ ， $AD$ ， $FP$ 之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

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（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $| QO | + | QA |$ 的最小值；

（3）过点 $Q$ 作 $PQ / / AC$ 交抛物线的第四象限部分于点 $P$ ，连接 $PA$ ， $PB$ ，记 $ΔPAQ$ 与 $ΔPBQ$ 面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，设 $S = S_{1} + S_{2}$ ，求点 $P$ 坐标，使得 $S$ 最大，并求此最大值．

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$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$ （元 $/$ 件），售价 $x$ 为多少时，周销售利润 $W$ 最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$ （元 $/$ 件） $(m > 0)$ ，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$ 不得超过55（元 $/$ 件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$ 的值．

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（1）求证：四边形 $CDMF$ 为平行四边形；

（2）当 $CD = \frac{2}{5} AB$ 时，求 $\sin ∠ ACF$ 的值．

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（1）若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值；

（2）是否存在实数 $m$ ，满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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某海域有一小岛 $P$ ，在以 $P$ 为圆心，半径 $r$ 为 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于北偏东 $60 °$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达 $B$ 处，此时观测小岛 $P$ 位于 $B$ 处北偏东 $45 °$ 方向上．

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