定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图1,等腰直角四边形 , , ,
①若 , ,求对角线 的长.
②若 ,求证: ,
(2)如图2,在矩形 中, , ,点 是对角线 上一点,且 ,过点 作直线分别交边 , 于点 , ,使四边形 是等腰直角四边形,求 的长.
如图, 是 的中线, 是线段 上一点(不与点 重合). 交 于点 , ,连接 .
(1)如图1,当点 与 重合时,求证:四边形 是平行四边形;
(2)如图2,当点 不与 重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长 交 于点 ,若 ,且 .
①求 的度数;
②当 , 时,求 的长.
如图,一次函数 与反比例函数 的图象交于点 , .
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在 轴上是否存在点 , ,使 为等腰三角形?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.
已知正方形 的对角线 , 相交于点 .
(1)如图1, , 分别是 , 上的点, 与 的延长线相交于点 .若 ,求证: ;
(2)如图2, 是 上的点,过点 作 ,交线段 于点 ,连接 交 于点 ,交 于点 .若 ,
①求证: ;
②当 时,求 的长.
如图,在 中, , 是 边上一点,以 为直径的 经过 的中点 ,交 的延长线于点 ,连接 .
(1)求证: .
(2)若 , ,求 的长.
如图,在方格纸中,点 , , 都在格点上.请按要求画出以 为边的格点四边形,使 在四边形内部(不包括边界上),且 到四边形的两个顶点的距离相等.
(1)在图甲中画出一个 .
(2)在图乙中画出一个四边形 ,使 ,且 .(注:图甲、乙在答题纸上)
如图, 是 的边 的中点,延长 交 的延长线于点 .
(1)求证: .
(2)若 , , ,求 的长.
如图,点 在矩形 的对角线 上,且不与点 , 重合,过点 分别作边 , 的平行线,交两组对边于点 , 和 , .
(1)求证: ;
(2)证明四边形 和四边形 都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.
如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:如图2,在四边形 中, , ,问四边形 是垂美四边形吗?请说明理由.
(2)性质探究:试探索垂美四边形 两组对边 , 与 , 之间的数量关系.
猜想结论:(要求用文字语言叙述)
写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证).
(3)问题解决:如图3,分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ,连接 , , ,已知 , ,求 长.
如图, 为 的直径,弦 ,垂足为点 ,直线 与 的延长线交于点 ,且 .
(1)求证:直线 是 的切线.
(2)若 , ,求线段 的长.
如图,已知 是矩形 的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段 的垂直平分线,分别交 、 于 、 (保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)连接 , ,问四边形 是什么四边形?请说明理由.
对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2个单位,这种点的运动称为点 的斜平移,如点 经1次斜平移后的点的坐标为 ,已知点 的坐标为 .
(1)分别写出点 经1次,2次斜平移后得到的点的坐标.
(2)如图,点 是直线 上的一点,点 关于点 的对称点为点 ,点 关于直线 的对称点为点 .
①若 、 、 三点不在同一条直线上,判断 是否是直角三角形?请说明理由.
②若点 由点 经 次斜平移后得到,且点 的坐标为 ,求出点 的坐标及 的值.
如果将四根木条首尾相连,在相连处用螺钉连接,就能构成一个平面图形.
(1)若固定三根木条 , , 不动, , ,如图,量得第四根木条 ,判断此时 与 是否相等,并说明理由.
(2)若固定二根木条 、 不动, , ,量得木条 , ,写出木条 的长度可能取得的一个值(直接写出一个即可)
(3)若固定一根木条 不动, ,量得木条 ,如果木条 , 的长度不变,当点 移到 的延长线上时,点 也在 的延长线上;当点 移到 的延长线上时,点 、 、 能构成周长为 的三角形,求出木条 , 的长度.
我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
(1)概念理解:
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;
(2)问题探究:
如图1,在等邻角四边形 中, , , 的中垂线恰好交于 边上一点 ,连接 , ,试探究 与 的数量关系,并说明理由;
(3)应用拓展:
如图2,在 与 中, , , ,将 绕着点 顺时针旋转角 得到 △ (如图 ,当凸四边形 为等邻角四边形时,求出它的面积.