初中数学三角形计算题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=40°$， $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{CBD}$的平分线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

（1）求 $\angle \mathit{CBE}$的度数；

（2）过点 $D$作 $\mathit{DF}//\mathit{BE}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$，求 $\angle F$的度数．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作 $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$；

②作边 $\mathit{AB}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AM}$相交于点 $P$；

③连接 $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$．

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$之间的数量关系是　                　；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=70°$，求 $\angle \mathit{BPC}$的度数．

问题：如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{BC}$边上一点（不与点 $B$， $C$重合），将线段 $\mathit{AD}$绕点 $A$逆时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EC}$，则线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{DC}$， $\mathit{EC}$之间满足的等量关系式为　              　；

探索：如图②，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$与 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上，试探索线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADC}=45°$．若 $\mathit{BD}=9$， $\mathit{CD}=3$，求 $\mathit{AD}$的长．

已知点 $A(a,m)$在双曲线 $y=\frac{8}{x}$上且 $m<0$，过点 $A$作 $x$轴的垂线，垂足为 $B$．

（1）如图1，当 $a=-2$时， $P(t,0)$是 $x$轴上的动点，将点 $B$绕点 $P$顺时针旋转 $90°$至点 $C$．

①若 $t=1$，直接写出点 $C$的坐标；

②若双曲线 $y=\frac{8}{x}$经过点 $C$，求 $t$的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线 $y=\frac{8}{x}(x>0)$沿 $y$轴折叠得到双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$，将线段 $\mathit{OA}$绕点 $O$旋转，点 $A$刚好落在双曲线 $y=-\frac{8}{x}(x<0)$上的点 $D(d,n)$处，求 $m$和 $n$的数量关系．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$与正方形 $\mathit{CEFG}$， $M$是 $\mathit{AF}$的中点，连接 $\mathit{DM}$， $\mathit{EM}$．

（1）如图1，点 $E$在 $\mathit{CD}$上，点 $G$在 $\mathit{BC}$的延长线上，请判断 $\mathit{DM}$， $\mathit{EM}$的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点 $E$在 $\mathit{DC}$的延长线上，点 $G$在 $\mathit{BC}$上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形 $\mathit{CEFG}$绕点 $C$旋转，使 $D$， $E$， $F$三点在一条直线上，若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{CE}=5$，请画出图形，并直接写出 $\mathit{MF}$的长．

问题：已知 $\alpha$、 $\beta$均为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\alpha +\beta$的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$，请借助这个网格图求出 $\alpha +\beta$的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$、 $P$、 $H$三点的圆弧与 $\mathit{AH}$交于 $R$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{MR}}$的弧长．

阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $a$， $b$， $c$，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： $\left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{2}(m^2-n^2)\\ b=\mathit{mn}\\ c=\frac{1}{2}(m^2+n^2).\end{array}\right.$其中 $m>n>0$， $m$， $n$是互质的奇数．

应用：当 $n=1$时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是中线， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，一个以点 $D$为顶点的 $45°$角绕点 $D$旋转，使角的两边分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$的延长线相交，交点分别为点 $E$， $F$， $\mathit{DF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $M$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{BC}$交于点 $N$．

（1）如图1，若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，在 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转的过程中：

①探究三条线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系，并说明理由；

②若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{DN}$的长．

定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图1，已知 $A$、 $B$是 $\odot O$上两点，请在圆上找出满足条件的点 $C$，使 $\mathit{\Delta ABC}$为“智慧三角形”（画出点 $C$的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$的中点， $F$是 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{CF}=\frac{1}{4}\mathit{CD}$，试判断 $\mathit{\Delta AEF}$是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1，点 $Q$是直线 $y=3$上的一点，若在 $\odot O$上存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta OPQ}$为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 $P$的坐标．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$分别交于 $D$、 $E$两点，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}=4$， $\cos A=\frac{2}{5}$，求 $\mathit{DF}$的长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$与点 $B$在 $\mathit{AC}$同侧， $\angle \mathit{DAC}>\angle \mathit{BAC}$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DC}$，过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{DA}$交 $\mathit{DC}$于点 $E$， $M$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{ME}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{ADC}=90°$时，线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系是　       　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ADC}=60°$时，试探究线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ADC}=\alpha$时，求 $\frac{\mathit{ME}}{\mathit{MD}}$的值．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$与点 $B$在 $\mathit{AC}$同侧， $\angle \mathit{DAC}>\angle \mathit{BAC}$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DC}$，过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{DA}$交 $\mathit{DC}$于点 $E$， $M$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{ME}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{ADC}=90°$时，线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系是　       　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ADC}=60°$时，试探究线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ADC}=\alpha$时，求 $\frac{\mathit{ME}}{\mathit{MD}}$的值．

如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形， $\mathit{AF}$经过点 $C$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AF}$于点 $M$，观察发现：点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AF}$于点 $H$． $\dots$

请参考上面的思路，证明点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当 $\angle \mathit{ABE}=135°$时，延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{EF}$交于点 $N$，求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{NE}}$的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=k(k$为大于 $\sqrt{2}$的常数），直接用含 $k$的代数式表示 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MF}}$的值．

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$是 $\mathit{AB}$的中点，且 $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）若 $\angle \mathit{DCF}=120°$， $\mathit{DE}=2$，求 $\mathit{BC}$的长．

如图，平面内的两条直线 $l_1$、 $l_2$，点 $A$， $B$在直线 $l_1$上，点 $C$、 $D$在直线 $l_2$上，过 $A$、 $B$两点分别作直线 $l_2$的垂线，垂足分别为 $A_1$， $B_1$，我们把线段 $A_1{B}_1$叫做线段 $\mathit{AB}$在直线 $l_2$上的正投影，其长度可记作 $T_{(\mathit{AB},\mathit{CD})}$或 $T_{(\mathit{AB},l_2)}$，特别地线段 $\mathit{AC}$在直线 $l_2$上的正投影就是线段 $A_{1}C$．

请依据上述定义解决如下问题：

（1）如图1，在锐角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=3$，则 $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=$　    　；

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=4$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=9$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）如图3，在钝角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=60°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\angle \mathit{ACD}=90°$， $T_{(\mathit{AD},\mathit{AC})}=2$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=6$，求 $T_{(\mathit{BC},\mathit{CD})}$，