如图,已知 是 的直径, 是 延长线上一点, 切 于点 , 是 的弦, ,垂足为 .
(1)求证: .
(2)过点 作 交 于点 ,交 于点 ,连接 ,若 , ,求 的长.
下面有4张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:
(1)画一个直角边长为4,面积为6的直角三角形.
(2)画一个底边长为4,面积为8的等腰三角形.
(3)画一个面积为5的等腰直角三角形.
(4)画一个一边长为 ,面积为6的等腰三角形.
如图,四边形 是正方形, 为 上一点,连接 ,延长 至点 ,使得 ,过点 作 ,垂足为 ,求证: .
如图, 中, , ,点 , 分别在 , 上, ,点 为 的延长线与 的延长线的交点.
(1)求证: ;
(2)判断 和 的数量关系,并说明理由;
(3)若 , ,求 的长.
如图,在直角三角形 中, ,点 是 的内心,
的延长线和三角形 的外接圆 相交于点 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)过点 作 的平行线交 、 的延长线分别于点 、 ,已知 ,圆 的直径为5.
①求证: 为圆 的切线;
②求 的长.
如图,点 、 分别是矩形 的边 、 上一点,若 ,且 .
(1)求证:点 为 的中点;
(2)延长 与 的延长线相交于点 ,连接 ,已知 ,求 的值.
阅读下列材料:
已知:如图1,等边△ 内接于 ,点 是 上的任意一点,连接 , , ,可证: ,从而得到: 是定值.
(1)以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整;
证明:如图1,作 , 交 的延长线于点 .
△ 是等边三角形,
,
又 , ,
△ △
.
,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△ ”改为“正方形 ”,其余条件不变,请问: 还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△ ”改为“正五边形 ”,其余条件不变,则 (只写出结果).
如图,在 中, ,以 为直径的 交 于点 ,交 于点 ,过点 作 ,与过点 的切线相交于点 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)若 , ,求 的长.
如图,在 中,过 点作 于点 ,交 于点 ,过 点作 于点 ,交 于点 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
(2)已知 , ,求 的长.
如图1,在平面直角坐标系, 为坐标原点,点 ,点 .
(1)求 的度数;
(2)如图1,将 绕点 顺时针旋转得△ ,当 恰好落在 边上时,设△ 的面积为 ,△ 的面积为 , 与 有何关系?为什么?
(3)若将 绕点 顺时针旋转到如图2所示的位置, 与 的关系发生变化了吗?证明你的判断.
两个城镇 , 与一条公路 ,一条河流 的位置如图所示,某人要修建一避暑山庄,要求该山庄到 , 的距离必须相等,到 和 的距离也必须相等,且在 的内部,请画出该山庄的位置 .(不要求写作法,保留作图痕迹.
在 中, , 是 上一点,连接 ,作 ,使 ,且 ,过点 作 交 于 ,连接 .
(1)如图1.
①连接 ,求证:
②若 是线段 的中点,且 , ,求 的长;
(2)如图2,若点 在线段 的延长线上,且四边形 是矩形,当 , 时,求 的长(用含 , 的代数式表示).