初中数学三角形解答题

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，点 $B$落在点 $F$处， $\mathit{FC}$交 $\mathit{AD}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AFE}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求图中阴影部分的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta CDE}$都是等边三角形，点 $B$、 $C$、 $E$三点在同一直线上，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）若 $A{D}^2=\mathit{DF}·\mathit{DB}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{BE}=6$．

①求 $\tan \angle \mathit{DBE}$的值；②求 $\mathit{DF}$的长．

如图， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DC}$．

如图，点 $P$、 $Q$分别是等边 $\mathit{\Delta ABC}$边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上的动点（端点除外），点 $P$、点 $Q$以相同的速度，同时从点 $A$、点 $B$出发．

（1）如图1，连接 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$．求证： $\mathit{\Delta ABQ}\cong \mathit{\Delta CAP}$；

（2）如图1，当点 $P$、 $Q$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$边上运动时， $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$相交于点 $M$， $\angle \mathit{QMC}$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点 $P$、 $Q$在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的延长线上运动时，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{CP}$相交于 $M$， $\angle \mathit{QMC}$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=12$， $\mathit{AB}=8$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{EB}=3$， $F$是 $\mathit{BC}$上一动点，若将 $\mathit{\Delta EBF}$沿 $\mathit{EF}$对折后，点 $B$落在点 $P$处，则点 $P$到点 $D$的最短距离为　　．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过 $\mathit{AC}$延长线上的点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AO}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$，以 $O$为圆心， $\mathit{OD}$长为半径的圆过点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\odot O$的半径为12，则 $\tan \angle \mathit{BDO}=$　    　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，点 $E$、 $F$分别在 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，过点 $A$、 $C$分别作 $\mathit{EF}$的垂线，垂足为 $G$、 $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AGE}\cong \mathit{\Delta CHF}$；

（2）连接 $\mathit{AC}$，线段 $\mathit{GH}$与 $\mathit{AC}$是否互相平分？请说明理由．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，已知 $\mathit{CE}=6$， $\mathit{BE}=8$， $\mathit{DE}=10$．

（1）求证： $\angle \mathit{BEC}=90°$；

（2）求 $\cos \angle \mathit{DAE}$．

如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿 $\mathit{DF}$折叠，使点 $A$落在 $\mathit{CD}$边上点 $E$处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 $C$再次折叠，使得点 $B$落在边 $\mathit{CD}$上点 $B\text{'}$处，如图③，两次折痕交于点 $O$；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OE}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{FD}$，如图④．

（探究）

（1）证明： $\mathit{\Delta OBC}\cong \mathit{\Delta OED}$；

（2）若 $\mathit{AB}=8$，设 $\mathit{BC}$为 $x$， $O{B}^2$为 $y$，求 $y$关于 $x$的关系式．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是斜边 $\mathit{AB}$上的中线，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $M$、 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$．

（1）若 $\odot O$的半径为 $\frac{5}{2}$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BN}$的长；

（2）求证： $\mathit{NE}$与 $\odot O$相切．

点 $P$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$所在直线上的一个动点（点 $P$不与点 $A$、 $C$重合），分别过点 $A$、 $C$向直线 $\mathit{BP}$作垂线，垂足分别为点 $E$、 $F$．点 $O$为 $\mathit{AC}$的中点．

（1）如图1，当点 $P$与点 $O$重合时，线段 $\mathit{OE}$和 $\mathit{OF}$的关系是　   　；

（2）当点 $P$运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点 $P$在线段 $\mathit{OA}$的延长线上运动，当 $\angle \mathit{OEF}=30°$时，试探究线段 $\mathit{CF}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{OE}$之间的关系．

如图1， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AC}$是一条弦， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连结 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，且 $\mathit{AF}=\mathit{FG}$．

（1）求证：点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$；

（2）如图2所示，延长 $\mathit{BA}$至点 $H$，使 $\mathit{AH}=\mathit{AO}$，连结 $\mathit{DH}$．若点 $E$是线段 $\mathit{AO}$的中点．求证： $\mathit{DH}$是 $\odot O$的切线．

如图，将平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿一条直线折叠，使点 $A$与点 $C$重合，点 $D$落在点 $G$处，折痕为 $\mathit{EF}$．求证：

（1） $\angle \mathit{ECB}=\angle \mathit{FCG}$；

（2） $\mathit{\Delta EBC}\cong \mathit{\Delta FGC}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BD}=\mathit{CE}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBC}\cong \mathit{\Delta ECB}$；

（2）求证： $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．