初中数学二次函数综合题解答题

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $D$为顶点，其中点 $B$的坐标为 $(5,0)$，点 $D$的坐标为 $(1,3)$．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上的一点，过点 $E$作 $x$轴的垂线，垂足为 $F$，且 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$，求点 $E$的坐标．

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点 $G$，使得 $\mathit{\Delta ADG}$的面积是 $\mathit{\Delta BDG}$的面积的 $\frac{3}{5}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $D$为 $\mathit{OC}$的中点，点 $P$在抛物线上．

（1） $b=$　      　；

（2）若点 $P$在第一象限，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp x$轴，垂足为 $H$， $\mathit{PH}$与 $C$、 $\mathit{BD}$分别交于点 $M$、 $N$．是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}=\mathit{MN}=\mathit{NH}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$的横坐标小于3，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $Q$，直线 $\mathit{PQ}$与 $x$轴交于点 $R$，且 $S_{\mathit{\Delta PQB}}=2S_{\mathit{\Delta QRB}}$，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,0)$和 $B(2,3)$两点，抛物线与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且关于直线 $x=1$对称，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，若点 $P$在 $y$轴上时， $\mathit{BP}$和 $\mathit{BC}$的夹角为 $15°$，求线段 $\mathit{CP}$的长度；

（3）当 $a⩽x⩽a+1$时，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $2a$，求 $a$的值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若 $P$是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点， $\mathit{PH}\perp x$轴于点 $H$，与线段 $\mathit{BC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{PC}$．

①求线段 $\mathit{PM}$的最大值；

②当 $\mathit{\Delta PCM}$是以 $\mathit{PM}$为一腰的等腰三角形时，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A(-4,0)$、 $B(2,0)$，交 $y$轴于点 $C(0,6)$，在 $y$轴上有一点 $E(0,-2)$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点 $D$为抛物线在 $x$轴负半轴上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta ADE}$面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，已知点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,1)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上求一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$面积为1；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$，使 $\angle \mathit{BQC}=\angle \mathit{BAC}$？若存在，求出 $Q$点坐标；若不存在，说明理由．

如图，是将抛物线 $y=-x^2$平移后得到的抛物线，其对称轴为 $x=1$，与 $x$轴的一个交点为 $A(-1,0)$，另一个交点为 $B$，与 $y$轴的交点为 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $N$为抛物线上一点，且 $\mathit{BC}\perp \mathit{NC}$，求点 $N$的坐标；

（3）点 $P$是抛物线上一点，点 $Q$是一次函数 $y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$的图象上一点，若四边形 $\mathit{OAPQ}$为平行四边形，这样的点 $P$、 $Q$是否存在？若存在，分别求出点 $P$、 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

已知函数 $y=m{x}^2-(2m-5)x+m-2$的图象与 $x$轴有两个公共点．

（1）求 $m$的取值范围，并写出当 $m$取值范围内取最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为 $C_1$．

①当 $n⩽x⩽-1$时， $y$的取值范围是 $1⩽y⩽-3n$，求 $n$的值；

②函数 $C_2:y=m{(x-h)}^2+k$的图象由函数 $C_1$的图象平移得到，其顶点 $P$落在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$的圆内或圆上．设函数 $C_1$的图象顶点为 $M$，求点 $P$与点 $M$距离最大时函数 $C_2$的解析式．

如图1，抛物线的顶点 $A$的坐标为 $(1,4)$，抛物线与 $x$轴相交于 $B$、 $C$两点，与 $y$轴交于点 $E(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F(0,-3)$，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$，使得 $\mathit{EG}+\mathit{FG}$最小，如果存在，求出点 $G$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$，若点 $P$是线段 $\mathit{OE}$上的一动点，过点 $P$作线段 $\mathit{AB}$的垂线，分别与线段 $\mathit{AB}$、抛物线相交于点 $M$、 $N$（点 $M$、 $N$都在抛物线对称轴的右侧），当 $\mathit{MN}$最大时，求 $\mathit{\Delta PON}$的面积．

如图，已知直线 $y=-2x+4$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$、 $B$，抛物线过 $A$， $B$两点，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，交抛物线于点 $D$．

（1）若抛物线的解析式为 $y=-2x^2+2x+4$，设其顶点为 $M$，其对称轴交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

①求点 $M$、 $N$的坐标；

②是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{MNPD}$为菱形？并说明理由；

（2）当点 $P$的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以 $B$、 $P$、 $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOB}$相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，点 $P$是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为 $l$， $l$与 $x$轴的交点为 $D$．在直线 $l$上是否存在点 $M$，使得四边形 $\mathit{CDPM}$是平行四边形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$，设 $\mathit{\Delta PBC}$的面积为 $S$．

①求 $S$关于 $t$的函数表达式；

②求 $P$点到直线 $\mathit{BC}$的距离的最大值，并求出此时点 $P$的坐标．

如图，已知二次函数的图象过点 $O(0,0)$， $A(8,4)$，与 $x$轴交于另一点 $B$，且对称轴是直线 $x=3$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若 $M$是 $\mathit{OB}$上的一点，作 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$交 $\mathit{OA}$于 $N$，当 $\mathit{\Delta ANM}$面积最大时，求 $M$的坐标；

（3） $P$是 $x$轴上的点，过 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴与抛物线交于 $Q$．过 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴于 $C$，当以 $O$， $P$， $Q$为顶点的三角形与以 $O$， $A$， $C$为顶点的三角形相似时，求 $P$点的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．

如图，已知抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$

（1）求 $b$的值及点 $B$的坐标；

（2）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）一动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，同时动点 $Q$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度向点 $C$运动（当点 $P$运动到点 $B$时，点 $Q$随之停止运动），设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时 $\mathit{\Delta PBQ}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？