初中数学二次函数综合题解答题

在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接，作交的延长线于点，连接交于点，是的中点，则是否将四边形分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2，是抛物线在第四象限的图象上的点，且，连接、，在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标．

提示：若点、的坐标分别为，、，，则线段的中点坐标为，．

如图一，抛物线过、、三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；

（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．

如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

若二次函数的图象与轴、轴分别交于点、，且过点．

（1）求二次函数表达式；

（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且，求点的坐标；

（3）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由．

已知抛物线的对称轴为直线，其图象与轴相交于，两点，与轴相交于点．

（1）求，的值；

（2）直线与轴相交于点．

①如图1，若轴，且与线段及抛物线分别相交于点，，点关于直线的对称点为点，求四边形面积的最大值；

②如图2，若直线与线段相交于点，当时，求直线的表达式．

在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；

（3）若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边，分别在轴，轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点为抛物线的顶点．

（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求的取值范围．

设二次函数，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．

如图，抛物线过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的正半轴交于点．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当时，自变量的取值范围；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点，当时，求的面积．

已知二次函数图象的顶点坐标为，该二次函数图象的对称轴与轴的交点为，是这个二次函数图象上的点，是原点．

（1）不等式是否成立？请说明理由；

（2）设是的面积，求满足的所有点的坐标．

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线的“不动点”的坐标；

②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．

在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线经过点和点，顶点为，点在其对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点落在抛物线上的点处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点移到原点的位置，这时点落在点的位置，如果点在轴上，且以、、、为顶点的四边形面积为8，求点的坐标．

已知在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为．

（1）求这条抛物线的表达式和点的坐标；

（2）点在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为，联结，用含的代数式表示的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点在轴上．原抛物线上一点平移后的对应点为点，如果，求点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．