如图，已知二次函数图象的顶点坐标为$A(1,4)$，与坐标轴交于$B$、$C$、$D$三点，且$B$点的坐标为$(-1,0)$．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于$x$轴上方部分有两个动点$M$、$N$，且点$N$在点$M$的左侧，过$M$、$N$作$x$轴的垂线交$x$轴于点$G$、$H$两点，当四边形$\mathit{MNHG}$为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形$\mathit{MNHG}$的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点$P$，使$\mathit{\Delta PNC}$的面积是矩形$\mathit{MNHG}$面积的$\frac{9}{16}$？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．