在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，顶点为 $A$ 的抛物线与 $x$ 轴交于 $B$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，已知 $A (1, 4)$ ， $B (3, 0)$ ．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接 $OA$ ，作 $DE / / OA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $OE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ， $M$ 是 $BE$ 的中点，则 $OM$ 是否将四边形 $OBAD$ 分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2， $P (m, n)$ 是抛物线在第四象限的图象上的点，且 $m + n = - 1$ ，连接 $PA$ 、 $PC$ ，在线段 $PC$ 上确定一点 $N$ ，使 $AN$ 平分四边形 $ADCP$ 的面积，求点 $N$ 的坐标．

提示：若点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则线段 $AB$ 的中点坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ．

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（本小题8分）
我省课改实验区于2005年起实行初中毕业生综合素质评价，结果分为A，B，C，D四个等级。我省某区教育局为了解评价情况，从全区3600名初三毕业生中任意抽取了200名学生的评价结果进行统计，得到如图所示扇形统计图：

根据图中提供的信息，
（1）请你求出样本中评定为D等级的学生占样本人数的百分之几？有多少人？
（2）请你说明样本中众数落在哪一个等级？估计该区初三毕业生中众数所在等级的总人数大约是多少？