在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，顶点为$A$的抛物线与$x$轴交于$B$、$C$两点，与$y$轴交于点$D$，已知$A(1,4)$，$B(3,0)$．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接$\mathit{OA}$，作$\mathit{DE}//\mathit{OA}$交$\mathit{BA}$的延长线于点$E$，连接$\mathit{OE}$交$\mathit{AD}$于点$F$，$M$是$\mathit{BE}$的中点，则$\mathit{OM}$是否将四边形$\mathit{OBAD}$分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2，$P(m,n)$是抛物线在第四象限的图象上的点，且$m+n=-1$，连接$\mathit{PA}$、$\mathit{PC}$，在线段$\mathit{PC}$上确定一点$N$，使$\mathit{AN}$平分四边形$\mathit{ADCP}$的面积，求点$N$的坐标．

提示：若点$A$、$B$的坐标分别为$(x_1$，$y_1)$、$(x_2$，$y_2)$，则线段$\mathit{AB}$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2}$，$\frac{y_1+y_2}{2})$．