在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，顶点为 $A$ 的抛物线与 $x$ 轴交于 $B$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，已知 $A (1, 4)$ ， $B (3, 0)$ ．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接 $OA$ ，作 $DE / / OA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $OE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ， $M$ 是 $BE$ 的中点，则 $OM$ 是否将四边形 $OBAD$ 分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2， $P (m, n)$ 是抛物线在第四象限的图象上的点，且 $m + n = - 1$ ，连接 $PA$ 、 $PC$ ，在线段 $PC$ 上确定一点 $N$ ，使 $AN$ 平分四边形 $ADCP$ 的面积，求点 $N$ 的坐标．

提示：若点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则线段 $AB$ 的中点坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ．

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实际称量读数和记录数据统计表

序号

数据

甲组

乙组

$- 2$

$- 3$

$- 1$

（1）补充完成乙组数据的折线统计图．

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为 $\overset{̅}{x_{甲}}$ ， $\overset{̅}{x_{乙}}$ ，写出 $\overset{̅}{x_{甲}}$ 与 $\overset{̅}{x_{乙}}$ 之间的等量关系．

②甲，乙两组数据的方差分别为 $S_{甲}^{2}$ ， $S_{乙}^{2}$ ，比较 $S_{甲}^{2}$ 与 $S_{乙}^{2}$ 的大小，并说明理由．

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