已知在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中（如图），已知抛物线$y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点$A(2,2)$，对称轴是直线$x=1$，顶点为$B$．

（1）求这条抛物线的表达式和点$B$的坐标；

（2）点$M$在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为$m$，联结$\mathit{AM}$，用含$m$的代数式表示$\angle \mathit{AMB}$的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点$C$在$x$轴上．原抛物线上一点$P$平移后的对应点为点$Q$，如果$\mathit{OP}=\mathit{OQ}$，求点$Q$的坐标．