如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1,4)，抛物线与x轴相交于

如图1，抛物线的顶点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，抛物线与 $x$ 轴相交于 $B$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F (0, - 3)$ ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$ ，使得 $EG + FG$ 最小，如果存在，求出点 $G$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $AB$ ，若点 $P$ 是线段 $OE$ 上的一动点，过点 $P$ 作线段 $AB$ 的垂线，分别与线段 $AB$ 、抛物线相交于点 $M$ 、 $N$ （点 $M$ 、 $N$ 都在抛物线对称轴的右侧），当 $MN$ 最大时，求 $ΔPON$ 的面积．

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化简求值： $(1 - \frac{2}{a - 1}) \div \frac{a - 3}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，其中 $a = - 2$ ．

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解分式方程： $\frac{3}{x - 1} + 2 = \frac{x}{x - 1}$ ．

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如图所示，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $BN$ 、 $CN$ ，求 $ΔBCN$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $CM$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $EM$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为直径，点 $C$ 为圆上一点，延长 $AB$ 到点 $D$ ，使 $CD = CA$ ，且 $∠ D = 30 °$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）分别过 $A$ 、 $B$ 两点作直线 $CD$ 的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ 两点，过 $C$ 点作 $AB$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．求证： $C G^{2} = AE \cdot BF$ ．

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某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．

（1）设该商店购进甲型平板电脑 $x$ 台，请写出全部售出后该商店获利 $y$ 与 $x$ 之间函数表达式．

（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．

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