初中数学二次函数的性质解答题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过 $A(2,0)$、 $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $x$轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．点 $P$是该抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $m(m>4)$．

（1）求该抛物线的表达式和 $\angle \mathit{ACB}$的正切值；

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACP}=45°$，求 $m$的值；

（3）如图3，过点 $A$、 $P$的直线与 $y$轴于点 $N$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $M$，直线 $\mathit{MN}$与 $x$轴交于点 $Q$，试判断四边形 $\mathit{ADMQ}$的形状，并说明理由．

已知抛物线的顶点为 $(2,-4)$并经过点 $(-2,4)$，点 $A$在抛物线的对称轴上并且纵坐标为 $-\frac{3}{2}$，抛物线交 $y$轴于点 $N$．如图1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$为抛物线对称轴上的一点， $\mathit{\Delta ANP}$为等腰三角形，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $B$为直线 $y=-2$上的一个动点，过点 $B$的直线 $l$与 $\mathit{AB}$垂直

①求证：直线 $l$与抛物线总有两个交点；

②设直线 $l$与抛物线交于点 $C$、 $D$（点 $C$在左侧），分别过点 $C$、 $D$作直线 $y=-2$的垂线，垂足分别为 $E$、 $F$．求 $\mathit{EF}$的长．

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 $P(x,y)$的动圆经过点 $A(1,2)$且与 $x$轴相切于点 $B$．

（1）当 $x=2$时，求 $\odot P$的半径；

（2）求 $y$关于 $x$的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　　的距离等于到　　的距离的所有点的集合．

（4）当 $\odot P$的半径为1时，若 $\odot P$与以上（2）中所得函数图象相交于点 $C$、 $D$，其中交点 $D(m,n)$在点 $C$的右侧，请利用图②，求 $\cos \angle \mathit{APD}$的大小．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，且 $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，抛物线对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$， $D$为第一象限内抛物线上一动点，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$于点 $E$，与 $\mathit{AC}$交于点 $F$，设点 $D$的横坐标为 $m$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $\mathit{DF}$的长度最大时，求 $D$点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$，使得以点 $O$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似？若存在，求出 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$坐标为 $(6,0)$，点 $C$坐标为 $(0,6)$，点 $D$是抛物线的顶点，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）点 $F$是抛物线上的动点，当 $\angle \mathit{FBA}=\angle \mathit{BDE}$时，求点 $F$的坐标；

（3）若点 $M$是抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴与抛物线交于点 $N$，点 $P$在 $x$轴上，点 $Q$在坐标平面内，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作正方形 $\mathit{MPNQ}$，请写出点 $Q$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $x$轴分别交于 $A(1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$

（1）求此二次函数解析式；

（2）点 $D$为抛物线的顶点，试判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状，并说明理由；

（3）将直线 $\mathit{BC}$向上平移 $t(t>0)$个单位，平移后的直线与抛物线交于 $M$， $N$两点（点 $M$在 $y$轴的右侧），当 $\mathit{\Delta AMN}$为直角三角形时，求 $t$的值．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A(0,3)$、 $B(-1,0)$、 $D(2,3)$，抛物线与 $x$轴的另一交点为 $E$．经过点 $E$的直线 $l$将平行四边形 $\mathit{ABCD}$分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 $F$．点 $P$为直线 $l$上方抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $t$何值时， $\mathit{\Delta PFE}$的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PAE}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $y=-x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{OB}$ 上的一个动点，过点 $M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，交二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象于点 $E$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似时，求线段 $\mathit{EF}$ 的长度；

（3）已知点 $N$ 是 $y$ 轴上的点，若点 $N$ 、 $F$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，求点 $N$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+c(a\ne 0)$ 经过点 $P(3,0)$ 、 $Q(1,4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $A$ 在直线 $\mathit{PQ}$ 上，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，以 $\mathit{AB}$ 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$ ．

①当 $Q$ 与 $A$ 重合时，求 $C$ 到抛物线对称轴的距离；

②若 $C$ 在抛物线上，求 $C$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{4}{3})$， $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=4$，直线 $l$过点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，交抛物线于点 $E$，且满足 $\tan \angle \mathit{OAD}=\frac{3}{4}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$从点 $B$出发，沿 $x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，动点 $Q$从点 $A$出发，沿射线 $\mathit{AE}$以每秒1个单位长度的速度向点 $E$运动，当点 $P$运动到点 $A$时，点 $Q$也停止运动，设运动时间为 $t$秒．

①在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta PQA}$相似，若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CAQ}$的面积之和最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．