如图，抛物线yax2bx2与x轴交于A，B两点，且OA2OB

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $OA = 2 OB$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ，抛物线对称轴为直线 $x = \frac{1}{2}$ ， $D$ 为第一象限内抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ，与 $AC$ 交于点 $F$ ，设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $DF$ 的长度最大时，求 $D$ 点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．

被抽样的学生视力情况频数表

组别	视力段	频数
$A$	$5.1 ⩽ x ⩽ 5.3$	25
$B$	$4.8 ⩽ x ⩽ 5.0$	115
$C$	$4.4 ⩽ x ⩽ 4.7$	$m$
$D$	$4.0 ⩽ x ⩽ 4.3$	52

（1）求组别 $C$ 的频数 $m$ 的值．

（2）求组别 $A$ 的圆心角度数．

（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？

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如图，在 $5 \times 5$ 的网格中， $ΔABC$ 的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出一个以 $AB$ 为边的 $▱ ABDE$ ，使顶点 $D$ ， $E$ 在格点上．

（2）在图2中画出一条恰好平分 $ΔABC$ 周长的直线 $l$ （至少经过两个格点）．

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先化简，再求值： $\frac{a}{a^{2} - 2 a + 1} \div \frac{1}{a - 1}$ ，其中 $a = 3$ ．

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计算： $| - 2 | + {(\frac{1}{3})}^{0} - \sqrt{9} + 2 \sin 30 °$ ．

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定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $∠ E$ 是 $ΔABC$ 中 $∠ A$ 的遥望角，若 $∠ A = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表示 $∠ E$ ．

（2）如图2，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $\hat{AD} = \hat{BD}$ ，四边形 $ABCD$ 的外角平分线 $DF$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $BF$ 并延长交 $CD$ 的延长线于点 $E$ ．求证： $∠ BEC$ 是 $ΔABC$ 中 $∠ BAC$ 的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $AE$ ， $AF$ ，若 $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径．

①求 $∠ AED$ 的度数；

②若 $AB = 8$ ， $CD = 5$ ，求 $ΔDEF$ 的面积．

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