初中数学反比例函数图象上点的坐标特征解答题

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，横坐标为 $a$的点 $A$在反比例函数 $y_1==\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，点 $A\text{'}$与点 $A$关于点 $O$对称，一次函数 $y_2=\mathit{mx}+n$的图象经过点 $A\text{'}$．

（1）设 $a=2$，点 $B(4,2)$在函数 $y_1$、 $y_2$的图象上．

①分别求函数 $y_1$、 $y_2$的表达式；

②直接写出使 $y_1>y_2>0$成立的 $x$的范围；

（2）如图①，设函数 $y_1$、 $y_2$的图象相交于点 $B$，点 $B$的横坐标为 $3a$，△ $A{A}^{\text{'}}B$的面积为16，求 $k$的值；

（3）设 $m=\frac{1}{2}$，如图②，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，与函数 $y_2$的图象相交于点 $D$，以 $\mathit{AD}$为一边向右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，试说明函数 $y_2$的图象与线段 $\mathit{EF}$的交点 $P$一定在函数 $y_1$的图象上．

如图，已知菱形 $\mathit{ABCD}$的对称中心是坐标原点 $O$，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象与 $\mathit{AD}$边交于 $E(-4,\frac{1}{2})$， $F(m,2)$两点．

（1）求 $k$， $m$的值；

（2）写出函数 $y=\frac{k}{x}$图象在菱形 $\mathit{ABCD}$内 $x$的取值范围．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $A$在第四象限 $y_1=-\frac{2}{x}$的图象上，点 $B$在第一象限 $y_2=\frac{k}{x}$的图象上， $\mathit{AB}$交 $x$轴于点 $E$，点 $C$与点 $D$在 $y$轴上， $\mathit{AD}=\frac{3}{2}$， $S_{\mathit{矩形OCBE}}=\frac{3}{2}{S}_{\mathit{矩形ODAE}}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）若点 $P$在 $x$轴上， $S_{\mathit{\Delta BPE}}=3$，求直线 $\mathit{BP}$的解析式．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{a}{x}(a\ne 0)$的图象在第二象限交于点 $A(m,2)$．与 $x$轴交于点 $C(-1,0)$．过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积是3．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $D$，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积．

如图1，一次函数 $y=\mathit{kx}-3(k\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象交于点 $B(4,b)$．

（1） $b=$　     　； $k=$　    　；

（2）点 $C$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（与点 $A$、 $B$不重合），过点 $C$且平行于 $y$轴的直线 $l$交这个反比例函数的图象于点 $D$，求 $\mathit{\Delta OCD}$面积的最大值；

（3）将（2）中面积取得最大值的 $\mathit{\Delta OCD}$沿射线 $\mathit{AB}$方向平移一定的距离，得到△ $O\text{'}C\text{'}D\text{'}$，若点 $O$的对应点 $O\text{'}$落在该反比例函数图象上（如图 $2)$，则点 $D\text{'}$的坐标是　 　．

如图，点 $A(2,n)$和点 $D$是反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$图象上的两点，一次函数 $y=\mathit{kx}+3(k\ne 0)$的图象经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，与 $x$轴交于点 $C$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OA}$， $\mathit{OD}$．已知 $\mathit{\Delta OAB}$与 $\mathit{\Delta ODE}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta OAB}}:S_{\mathit{\Delta ODE}}=3:4$．

（1） $S_{\mathit{\Delta OAB}}=$　    　， $m=$　    　；

（2）已知点 $P(6,0)$在线段 $\mathit{OE}$上，当 $\angle \mathit{PDE}=\angle \mathit{CBO}$时，求点 $D$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{BC}$交 $x$轴于点 $D$， $\mathit{AD}\perp x$轴，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $A$，点 $D$的坐标为 $(3,0)$， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点 $P$为 $y$轴上一动点，当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小时，求出点 $P$的坐标．

如图，直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$与 $x$， $y$轴分别交于点 $A$， $B$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$图象交于点 $C$， $D$，过点 $A$作 $x$轴的垂线交该反比例函数图象于点 $E$．

（1）求点 $A$的坐标．

（2）若 $\mathit{AE}=\mathit{AC}$．

①求 $k$的值．

②试判断点 $E$与点 $D$是否关于原点 $O$成中心对称？并说明理由．

已知反比例函数的图象经过三个点 $A(-4,-3)$， $B(2m,y_1)$， $C(6m,y_2)$，其中 $m>0$．

（1）当 $y_1-y_2=4$时，求 $m$的值；

（2）如图，过点 $B$、 $C$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，两垂线相交于点 $D$，点 $P$在 $x$轴上，若三角形 $\mathit{PBD}$的面积是8，请写出点 $P$坐标（不需要写解答过程）．

如图，在平面直角坐标系中有三点 $(1,2)$， $(3,1)$， $(-2,-1)$，其中有两点同时在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上，将这两点分别记为 $A$， $B$，另一点记为 $C$．

（1）求出 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{AB}$对应的一次函数的表达式；

（3）设点 $C$关于直线 $\mathit{AB}$的对称点为 $D$， $P$是 $x$轴上的一个动点，直接写出 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值（不必说明理由）．

如图，已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A(4,m)$， $\mathit{AB}\perp x$轴，且 $\mathit{\Delta AOB}$的面积为2．

（1）求 $k$和 $m$的值；

（2）若点 $C(x,y)$也在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上，当 $-3⩽x⩽-1$时，求函数值 $y$的取值范围．

一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字 $-1$，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点 $M$的横坐标 $x$；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点 $M$的纵坐标 $y$．

（1）用列表法或树状图法，列出点 $M(x,y)$的所有可能结果；

（2）求点 $M(x,y)$在双曲线 $y=-\frac{2}{x}$上的概率．

如图， $\angle \mathit{AOB}=90°$，反比例函数 $y=-\frac{2}{x}(x<0)$的图象过点 $A(-1,a)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象过点 $B$，且 $\mathit{AB}//x$轴．

（1）求 $a$和 $k$的值；

（2）过点 $B$作 $\mathit{MN}//\mathit{OA}$，交 $x$轴于点 $M$，交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于另一点 $C$，求 $\mathit{\Delta OBC}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$的斜边 $\mathit{OA}$在 $x$轴的正半轴上， $\angle \mathit{OBA}=90°$，且 $\tan \angle \mathit{AOB}=\frac{1}{2}$， $\mathit{OB}=2\sqrt{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $B$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta AMB}$与 $\mathit{\Delta AOB}$关于直线 $\mathit{AB}$对称，一次函数 $y=\mathit{mx}+n$的图象过点 $M$、 $A$，求一次函数的表达式．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{OBCD}$的边 $\mathit{OB}$在 $x$轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过菱形对角线的交点 $A$，且与边 $\mathit{BC}$交于点 $F$，点 $A$的坐标为 $(4,2)$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点 $F$的坐标．