初中数学

如图,在平面直角坐标系中,坐标原点 O 是菱形 ABCD 的对称中心.边 AB x 轴平行,点 B ( 1 , 2 ) ,反比例函数 y = k x ( k 0 ) 的图象经过 A C 两点.

(1)求点 C 的坐标及反比例函数的解析式.

(2)直线 BC 与反比例函数图象的另一交点为 E ,求以 O C E 为顶点的三角形的面积.

来源:2017年四川省攀枝花市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点 P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) ,可通过构造直角三角形利用图1得到结论: P 1 P 2 = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 他还利用图2证明了线段 P 1 P 2 的中点 P ( x , y ) P 的坐标公式: x = x 1 + x 2 2 y = y 1 + y 2 2

(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;

运用:(2)①已知点 M ( 2 , 1 ) N ( 3 , 5 ) ,则线段 MN 长度为  

②直接写出以点 A ( 2 , 2 ) B ( 2 , 0 ) C ( 3 , 1 ) D 为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标:  

拓展:(3)如图3,点 P ( 2 , n ) 在函数 y = 4 3 x ( x 0 ) 的图象 OL x 轴正半轴夹角的平分线上,请在 OL x 轴上分别找出点 E F ,使 ΔPEF 的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.

来源:2017年四川省达州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-20
  • 题型:未知
  • 难度:未知

一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球,球面上分别标有数字1、 2 、3,搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回),记下数字作为点 A 的横坐标,再从余下的两个小球中任意摸出一个小球,记下数字作为点 A 的纵坐标.

(1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果;

(2)求点 A 落在第四象限的概率.

来源:2018年江苏省淮安市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图所示,直线 y 1 = kx + b 与双曲线 y 2 = m x ( m > 0 ) 在第一象限的图象相交于 A E 两点,且 A ( 3 , 4 ) E BC 的中点.

(1)连接 OE ,若 ΔABE 的面积为 S 1 ΔOCE 的面积为 S 2 ,则 S 1   =   S 2 (直接填“ > ”“ < ”或“ = )

(2)求 y 1 y 2 的解析式;

(3)请直接写出当 x 取何值时 y 1 > y 2

来源:2018年四川省凉山州中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在下面的网格中,每个小正方形的边长均为1, ΔABC 的三个顶点都是网格线的交点,已知 B C 两点的坐标分别为 ( 3 , 0 ) ( 1 , 1 )

(1)请在图中画出平面直角坐标系,并直接写出点 A 的坐标.

(2)将 ΔABC 绕着坐标原点顺时针旋转 90 ° ,画出旋转后的△ A ' B ' C '

(3)接写出在上述旋转过程中,点 A 所经过的路径长.

来源:2019年辽宁省丹东市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-12
  • 题型:未知
  • 难度:未知

将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中,点 O ( 0 , 0 ) ,点 A ( 2 , 0 ) ,点 B 在第一象限, OAB = 90 ° B = 30 ° ,点 P 在边 OB 上(点 P 不与点 O B 重合).

(Ⅰ)如图①,当 OP = 1 时,求点 P 的坐标;

(Ⅱ)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点 P ,并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ,且 OQ = OP ,点 O 的对应点为 O ' ,设 OP = t

①如图②,若折叠后△ O ' PQ ΔOAB 重叠部分为四边形, O ' P O ' Q 分别与边 AB 相交于点 C D ,试用含有 t 的式子表示 O ' D 的长,并直接写出 t 的取值范围;

②若折叠后△ O ' PQ ΔOAB 重叠部分的面积为 S ,当 1 t 3 时,求 S 的取值范围(直接写出结果即可).

来源:2020年天津市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在如图的正方形网格中,每一个小正方形的边长为1.格点三角形 ABC (顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A C 的坐标分别是 ( 4 , 6 ) ( 1 , 4 )

(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系;

(2)请画出 ΔABC 关于 x 轴对称的△ A 1 B 1 C 1

(3)请在 y 轴上求作一点 P ,使△ P B 1 C 的周长最小,并写出点 P 的坐标.

来源:2017年四川省眉山市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边 OC OA 分别在坐标轴上,且 OA = 2 OC = 4 ,连接 OB .反比例函数 y = k 1 x ( x > 0 ) 的图象经过线段 OB 的中点 D ,并与 AB BC 分别交于点 E F .一次函数 y = k 2 x + b 的图象经过 E F 两点.

(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式;

(2)点 P x 轴上一动点,当 PE + PF 的值最小时,点 P 的坐标为   

来源:2021年山东省菏泽市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.

探究一:求不等式 | x 1 | < 2 的解集

(1)探究 | x 1 | 的几何意义

如图①,在以 O 为原点的数轴上,设点 A ' 对应的数是 x 1 ,由绝对值的定义可知,点 A ' 与点 O 的距离为 | x 1 | ,可记为 A ' O = | x 1 | .将线段 A ' O 向右平移1个单位得到线段 AB ,此时点 A 对应的数是 x ,点 B 对应的数是1.因为 AB = A ' O ,所以 AB = | x 1 | .因此, | x 1 | 的几何意义可以理解为数轴上 x 所对应的点 A 与1所对应的点 B 之间的距离 AB

(2)求方程 | x 1 | = 2 的解

因为数轴上3和 1 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3, 1

(3)求不等式 | x 1 | < 2 的解集

因为 | x 1 | 表示数轴上 x 所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 x 的范围.

请在图②的数轴上表示 | x 1 | < 2 的解集,并写出这个解集.

探究二:探究 ( x a ) 2 + ( y b ) 2 的几何意义

(1)探究 x 2 + y 2 的几何意义

如图③,在直角坐标系中,设点 M 的坐标为 ( x , y ) ,过 M MP x 轴于 P ,作 MQ y 轴于 Q ,则 P 点坐标为 ( x , 0 ) Q 点坐标为 ( 0 , y ) OP = | x | OQ = | y | ,在 Rt Δ OPM 中, PM = OQ = | y | ,则 MO = O P 2 + P M 2 = | x | 2 + | y | 2 = x 2 + y 2 ,因此, x 2 + y 2 的几何意义可以理解为点 M ( x , y ) 与点 O ( 0 , 0 ) 之间的距离 MO

(2)探究 ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 的几何意义

如图④,在直角坐标系中,设点 A ' 的坐标为 ( x 1 , y 5 ) ,由探究二(1)可知, A ' O = ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 ,将线段 A ' O 先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段 AB ,此时点 A 的坐标为 ( x , y ) ,点 B 的坐标为 ( 1 , 5 ) ,因为 AB = A ' O ,所以 AB = ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 ,因此 ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 的几何意义可以理解为点 A ( x , y ) 与点 B ( 1 , 5 ) 之间的距离 AB

(3)探究 ( x + 3 ) 2 + ( y 4 ) 2 的几何意义

请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.

(4) ( x a ) 2 + ( y b ) 2 的几何意义可以理解为:  

拓展应用:

(1) ( x 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( x + 1 ) 2 + ( y + 5 ) 2 的几何意义可以理解为:点 A ( x , y ) 与点 E ( 2 , 1 ) 的距离和点 A ( x , y ) 与点 F   (填写坐标)的距离之和.

(2) ( x 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( x + 1 ) 2 + ( y + 5 ) 2 的最小值为  (直接写出结果)

来源:2017年山东省青岛市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点 A ( 2 , 3 ) B ( 4 , 4 ) ,请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.

(1)在图1中画一个 ΔPAB ,使点 P 的横、纵坐标之和等于点 A 的横坐标;

(2)在图2中画一个 ΔPAB ,使点 P B 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.

来源:2017年浙江省温州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知平面直角坐标系中,点 P ( x 0 y 0 ) 和直线 Ax + By + C = 0 (其中 A B 不全为 0 ) ,则点 P 到直线 Ax + By + C = 0 的距离 d 可用公式 d = | A x 0 + B y 0 + C | A 2 + B 2 来计算.

例如:求点 P ( 1 , 2 ) 到直线 y = 2 x + 1 的距离,因为直线 y = 2 x + 1 可化为 2 x - y + 1 = 0 ,其中 A = 2 B = - 1 C = 1 ,所以点 P ( 1 , 2 ) 到直线 y = 2 x + 1 的距离为: d = | A x 0 + B y 0 + C | A 2 + B 2 = | 2 × 1 + ( - 1 ) × 2 + 1 | 2 2 + ( - 1 ) 2 = 1 5 = 5 5

根据以上材料,解答下列问题:

(1)求点 M ( 0 , 3 ) 到直线 y = 3 x + 9 的距离;

(2)在(1)的条件下, M 的半径 r = 4 ,判断 M 与直线 y = 3 x + 9 的位置关系,若相交,设其弦长为 n ,求 n 的值;若不相交,说明理由.

来源:2021年四川省遂宁市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,菱形 ABCD 的边 AB x 轴上,点 A 的坐标为 ( 1 , 0 ) ,点 D ( 4 , 4 ) 在反比例函数 y = k x ( x > 0 ) 的图象上,直线 y = 2 3 x + b 经过点 C ,与 y 轴交于点 E ,连接 AC AE

(1)求 k b 的值;

(2)求 ΔACE 的面积.

来源:2019年广西贵港市中考数学试卷
  • 更新:2021-04-28
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,在平面直角坐标系中, ΔABC 的顶点 A C 分别是直线 y = - 8 3 x + 4 与坐标轴的交点,点 B 的坐标为 ( - 2 , 0 ) ,点 D 是边 AC 上的一点, DE BC 于点 E ,点 F 在边 AB 上,且 D F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称,连结 DF EF .设点 D 的横坐标为 m E F 2 l ,请探究:

①线段 EF 长度是否有最小值.

ΔBEF 能否成为直角三角形.

小明尝试用“观察 - 猜想 - 验证 - 应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题.

(1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到 l m 变化的一组对应值,并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图 2 ) .请你在图2中连线,观察图象特征并猜想 l m 可能满足的函数类别.

(2)小明结合图1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围,并求出线段 EF 长度的最小值.

(3)小明通过观察,推理,发现 ΔBEF 能成为直角三角形,请你求出当 ΔBEF 为直角三角形时 m 的值.

来源:2020年浙江省衢州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

请阅读以下材料:已知向量 a = ( x 1 y 1 ) b = ( x 2 y 2 ) 满足下列条件:

| a | = x 1 2 + y 1 2 | b | = x 2 2 + y 2 2

a b = | a | × | b | cos α (角 α 的取值范围是 0 ° < α < 90 ° )

a b = x 1 x 2 + y 1 y 2

利用上述所给条件解答问题:

如:已知 a = ( 1 , 3 ) b = ( 3 3 ) ,求角 α 的大小;

解: | a | = x 1 2 + y 1 2 = 1 2 + ( 3 ) 2 = 2

b = x 2 2 + y 2 2 = ( 3 ) 2 + 3 2 = 12 = 2 3

a b = | a | × | b | cos α = 2 × 2 3 cos α = 4 3 cos α

a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 = 1 × ( 3 ) + 3 × 3 = 2 3

4 3 cos α = 2 3

cos α = 1 2 α = 60 °

α 的值为 60 °

请仿照以上解答过程,完成下列问题:

已知 a = ( 1 , 0 ) b = ( 1 , 1 ) ,求角 α 的大小.

来源:2018年四川省遂宁市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的顶点 A C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上,点 B 的坐标是 ( 5 , 2 ) ,点 P CB 边上一动点(不与点 C 、点 B 重合),连接 OP AP ,过点 O 作射线 OE AP 的延长线于点 E ,交 CB 边于点 M ,且 AOP = COM ,令 CP = x MP = y

(1)当 x 为何值时, OP AP

(2)求 y x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围;

(3)在点 P 的运动过程中,是否存在 x ,使 ΔOCM 的面积与 ΔABP 的面积之和等于 ΔEMP 的面积?若存在,请求 x 的值;若不存在,请说明理由.

来源:2016年四川省乐山市中考数学试卷
  • 更新:2021-04-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学平面直角坐标系解答题